mathematica.gr

Με αφορμή το θέμα του Ορέστη αυτό :
Προεκτείνουμε τις πλευρές τριγώνου κατά ίσα ( μεταβλητά ) τμήματα .

α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του τμήματος .

β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής , των .

γ) Εξετάστε αν ο πρώτος τόπος είναι μεσοπαράλληλος της διχοτόμου και του δεύτερου τόπου .

Στο σχήμα έχω αντί για το σημείο του σχήματος της άσκησης το σημείο ...

Χρησιμοποιώντας το γ) ερώτημα ως βοηθητικό!

Έστω το μέσο της ,

,



α) Με το βοήθεια του νόμου των ημιτόνων στα τρίγωνα δείχνουμε εύκολα ότι .

Έτσι το μέσον του είναι και μέσο του .

Στο τραπέζιο το τμήμα είναι διάμεσος. Οπότε .

Άρα ο γ.τ. των μέσων των τμημάτων είναι ευθεία παράλληλη στη διχοτόμο η οποία διέρχεται από το μέσο του .

β) Η ευθεία είναι διατέμνουσα του τριγώνου και έτσι:



Άρα

Από θεώρημα διχοτόμων στο τρίγωνο είναι:



Διαιρώντας τους όρους του πρώτου κλάσματος με και χρησιμοποιώντας την έχουμε:



Αν τώρα σημείο της τέτοιο ώστε: , με τη βοήθεια του θεωρήματος διχοτόμου στο τρίγωνο είναι:



Από τις είναι δηλαδή

ο γ.τ. των σημείων είναι ευθεία παράλληλη στη διχοτόμο η οποία διέρχεται από το .

γ) Άμεση συνέπεια των α),β).