Ανισότητα
Δημοσιεύτηκε: Τετ Μαρ 22, 2023 8:39 am
Έστω 
θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι:
![\displaystyle{\frac{16}{27} \left ( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right )^3 + \sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}} \geq \frac{5}{2}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ce9df23c0636388ae75a14866878d594.png "\displaystyle{\frac{16}{27} \left ( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right )^3 + \sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}} \geq \frac{5}{2}}")
θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι:Κατ' αρχάς από την ανισότητα Nesbitt:
Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε
![\dfrac{1}{8}\geq\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\Rightarrow \sqrt[3]{\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq \dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/eda08dde3f5f8bd84311e0aa5641666e.png "\dfrac{1}{8}\geq\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\Rightarrow \sqrt[3]{\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq \dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}")
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι:
![\Leftrightarrow 8(a^3+b^3+c^3) +18abc\geq 7[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/54e248236e6e57e04b252314ffff0ae0.png "\Leftrightarrow 8(a^3+b^3+c^3) +18abc\geq 7[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]")
Η οποία αποδεικνύεται από τις δύο παρακάτω σχέσεις με πρόσθεση κατά μέλη.
![7(a^3+b^3+c^3+3abc)\geq 7[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\ (Schur)](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d5f4ef9c36bf8debef27570a5a55498a.png "7(a^3+b^3+c^3+3abc)\geq 7[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\ (Schur)")
