mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 23, 2023 7:52 pm**

: Χωρίς μοιρογνωμόνιο.png (11.93 KiB) Προβλήθηκε 1292 φορές

Στο παρατιθέμενο σχήμα , υπολογίστε το άθροισμα : AB^2+CD^2

.

( Το σημείο

είναι το

) .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 23, 2023 8:33 pm**

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 23, 2023 7:52 pm Χωρίς μοιρογνωμόνιο.pngΣτο παρατιθέμενο σχήμα , υπολογίστε το άθροισμα : .

( Το σημείο είναι το ) .

Αν

το μέσον του

και

το μέσον του

έχουμε

AB^2+CD^2 = 4MB^2+4NC^2= 4( OB^2-OM^2)+ 4 (OD^2-ON^2)=

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Μαρ 23, 2023 9:36 pm**

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 23, 2023 7:52 pm Χωρίς μοιρογνωμόνιο.pngΣτο παρατιθέμενο σχήμα , υπολογίστε το άθροισμα : .

( Το σημείο είναι το ) .

: Χωρίς μοιρογνωμόνιο.png (25.68 KiB) Προβλήθηκε 1256 φορές

$\left\{ \begin{gathered} {a^2} = 25 - O{M^2} \hfill \\ {b^2} = 25 - O{N^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 4{a^2} + 4{b^2} = 200 - 4\left( {O{M^2} + O{N^2}} \right) = 200 - 20 = 180$

Άρα : $\boxed{A{B^2} + C{D^2} = 180}$

Περίπου τα ίδια με τον Κ. Λάμπρου.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 24, 2023 11:55 am**

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 23, 2023 7:52 pm Χωρίς μοιρογνωμόνιο.pngΣτο παρατιθέμενο σχήμα , υπολογίστε το άθροισμα : .

( Το σημείο είναι το ) .

Αν

είναι τα μέσα των AB, CD

τότε από το θεώρημα του $\rm Euler$ στο τετράπλευρο ACBD

έχουμε:

: Χωρίς μοιρογνωμόνιο.png (16.07 KiB) Προβλήθηκε 1212 φορές

$\displaystyle A{C^2} + B{C^2} + B{D^2} + A{D^2} = A{B^2} + C{D^2} + 4M{N^2}$ και λόγω της συνθήκης καθετότητας,

$\displaystyle 2(A{D^2} + B{C^2}) = A{B^2} + C{D^2} + 4O{S^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{A{D^2} + B{C^2} = \frac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + 10}$ (1)

$\displaystyle A{B^2} + C{D^2} = {(AS + SB)^2} + {(CS + SD)^2} = A{S^2} + S{B^2} + C{S^2} + S{D^2} + 2(AS \cdot SB + CS \cdot SD)$

$\displaystyle A{B^2} + C{D^2} = A{D^2} + B{C^2} + 4({R^2} - O{S^2}) = A{D^2} + B{C^2} + 80\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{AB^2+CD^2=180}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 24, 2023 3:51 pm**

Επειδή για τυχόν σημείο

του κύκλου και

σταθερό, είναι $AB^2 + CD^2 = ct\ \$
το ζητούμενο ισούται με GH^2+FE^2=180

. Αναλυτικότερα

$\displaystyle{ \begin{aligned} & AB^2 + CD^2 = (AS+SB)^2 + (CS+SD)^2 = AS^2 + SB^2 + CS^2 + SD^2 + 2 \cdot AS \cdot SB + 2 \cdot CS \cdot SD = \cr & = FE^2 + 4 \cdot SE \cdot SF = ct = 10^2 + 4(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5}) = 180 \cr \end{aligned} }$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 25, 2023 10:17 am**

Για την ιστορία, αξίζει εδώ να επισημάνω ότι η παραπάνω ωραία άσκηση είναι στην ίδια θεματική ενότητα με ένα αποτέλεσμα του Αρχιμήδη που είδαμε
εδώ.
Και τα δύο αποτελέσματα νομίζω ότι είναι αρκετά απρόσμενα. Αυτή είναι η ομορφιά των Μαθηματικών.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 26, 2023 12:54 pm**

Ισχύει και για σημείο

εκτός κύκλου.

: Σταθερό άθροισμα τετραγώνων.png (11.62 KiB) Προβλήθηκε 1107 φορές

$R<d<R\sqrt 2.$

mathematica.gr

Χωρίς μοιρογνωμόνιο

Χωρίς μοιρογνωμόνιο

Re: Χωρίς μοιρογνωμόνιο

Re: Χωρίς μοιρογνωμόνιο

Re: Χωρίς μοιρογνωμόνιο

Re: Χωρίς μοιρογνωμόνιο

Re: Χωρίς μοιρογνωμόνιο

Re: Χωρίς μοιρογνωμόνιο