mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 03, 2023 7:56 pm**

: Το τρίγωνο του διαβόλου.png (7.66 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, είναι :

. Τμήμα

έχει τα άκρα του στις AB , AC ,

αντίστοιχα και διέρχεται από το βαρύκεντρο

του τριγώνου . Βρείτε το ελάχιστο του γινομένου : $SG\cdot GT$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 04, 2023 9:08 am**

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 03, 2023 7:56 pm Το τρίγωνο του διαβόλου.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Τμήμα έχει τα άκρα του στις

αντίστοιχα και διέρχεται από το βαρύκεντρο του τριγώνου . Βρείτε το ελάχιστο του γινομένου : $SG\cdot GT$

Φέρνω την διάμεσο

, την διχοτόμο

και τη συμμετροδιάμεσο

που τέμνουν την

στα $G\,\,,\,\,N\,\,,\,\,F$ αντίστοιχα.

Είναι: $AM = \dfrac{{\sqrt {151} }}{2} \Rightarrow AG = \dfrac{{\sqrt {151} }}{3}\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Επειδή $GS \cdot GT = \left( {NS + NG} \right)\left( {NT - NG} \right)\,\,\left( 2 \right)$ για να πετύχω το ελάχιστο αρκεί $ST \bot AD$ .
.

: Το τρίγωνο του διαβόλου.png (20.9 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές

.
Τότε με σταθερό το $\cos A = \dfrac{{17}}{{32}}$ υπολόγισα:

$AS = AT = \dfrac{{14}}{3}\,\,,\,\,ST = \dfrac{{7\sqrt {15} }}{6},\,\,SN = \dfrac{{7\sqrt {15} }}{{12}}\,\,,\,\,AN = \dfrac{{49}}{{12}}$ και άρα : $NG = \sqrt {A{G^2} - A{N^2}} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{{12}}$ .

Τώρα η $\left( 2 \right)$ δίδει: $GS \cdot G{T_{\min }} = \left( {SN + NG} \right)\left( {SN - NG} \right) = S{N^2} - N{G^2} = {\left( {\dfrac{{7\sqrt {15} }}{{12}}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{{12}}} \right)^2} = 5$

: Το τρίγωνο του διαβόλου_Λήμμα.png (19.54 KiB) Προβλήθηκε 515 φορές

mathematica.gr

Το τρίγωνο του διαβόλου

Το τρίγωνο του διαβόλου

Re: Το τρίγωνο του διαβόλου