mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 10, 2023 1:33 am**

Να δειχθεί ότι ο αριθμός $\displaystyle{\frac{(2n-1)!(4^n-1)\zeta(2n)}{\pi^{2n}}}$ είναι ακέραιος για κάθε $n \geq 2$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 11, 2023 11:44 pm**

Καλησπέρα Τόλη και καλό Πάσχα. Φαντάζομαι θέλεις κάτι σαν το παρακάτω (;)

Έχουμε διαδοχικά για κάθε $n\geq 2$ :

$\displaystyle{N=\frac{(2n-1)!(4^n-1)}{\pi ^{2n}}\zeta (2n)=\frac{(2n-1)!(4^n-1)}{\pi ^{2n}}(-1)^{n-1}B_{2n}\frac{2^{2n-1}}{(2n)!}\pi ^{2n}}$

Μετά τις απλοποιήσεις έχουμε:

$\displaystyle{N=\frac{(-1)^{n-1}2^{2n-1}(4^{n}-1)B_{2n}}{2n}}$

$\displaystyle{=\frac{(-1)^{n-1}2^{2n-1}(4^{n}-1)(-1)^{n-1}2nA_{2n-1}}{2n(4^{2n}-2^{2n})}}$

$\displaystyle{=\frac{2^{2n-1}(4^{n}-1)}{4^{2n}-2^{2n}}A_{2n-1}}$

$\displaystyle{=\frac{A_{2n-1}}{2}}$

Εδώ συμβολίζουμε με $B_{k}$ τον

-οστό αριθμό Bernoulli και με $A_{k}$ τους αριθμούς zigzag. Προφανώς, εδώ έχουμε τους περιττούς zigzag, αλλιώς zag αριθμούς, οι οποίοι είναι άρτιοι.

mathematica.gr

Είναι ακέραιος

Είναι ακέραιος

Re: Είναι ακέραιος