mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 12, 2023 8:37 pm**

Δίδονται οι συναρτήσεις f,g

με : $f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 5\,\,\kappa \alpha \iota \,\,g\left( x \right) = {x^2} + 2x - 4$ .

α) Δείξετε ότι η εφαπτομένη της ${C_f}$ στο $A\left( {3,f\left( 3 \right)} \right)$ εφάπτεται της ${C_g}$ σε κάποιο σημείο της

, του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες .

β) Αν το $B\left( {0, - 4} \right)$ , να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις ${C_f}\,\,,\,\,\,{C_g}$ και την ευθεία, του α) ερωτήματος .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 15, 2023 10:07 pm**

Καλησπέρα και χρόνια πολλά σε όλους.

α) Η συνάρτηση

είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $D_f=D_{f'}=\mathbb{R}$ ως πολυωνυμική με
f'(x)=2x-4.

Συνεπώς η εφαπτομένη της C_f

στο

έχει εξίσωση $\displaystyle{y-f(3)=f'(3)(x-3) \Leftrightarrow y=2x-4\;\;\;}$
Η συνάρτηση

είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $D_g=D_{g'}=\mathbb{R}$ ως πολυωνυμική με
g'(x)=2x+2.

Έστω

και η εφαπτομένη της C_g

στο

έχει εξίσωση
$\displaystyle{y-g(x_0)=g'(x_0)(x-x_0) \Leftrightarrow y=g'(x_0)x+g(x_0)-x_0g'(x_0)\;\;\;(II)}$
Από τις (I),(II)

προκύπτει ότι πρέπει να ισχύει:
$\displaystyle{\begin{cases} g'(x_0)=2\\g(x_0)-x_0g'(x_0)=-4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x_0+2=2\\x_0^2x_0-4-x_0(2x_0+2)=-4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_0=0\\x_0^2x_0-4-x_0(2x_0+2)=-4 \end{cases}.}$
Επομένως η εφαπτομένη της C_f

στο

και η εφαπτομένη της C_g

στο

ταυτίζονται και έχουν εξίσωση y=2x-4.

β) Για $x \in \mathbb{R}$ έχουμε ότι:
* $f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^2-4x+5=x^2+2x-4 \Leftrightarrow x=\frac{3}{2},$
* $f(x) = 2x-4 \Leftrightarrow x^2-4x+5=2x-4 \Leftrightarrow x=3,$
* $2x-4 = g(x) \Leftrightarrow 2x-4=x^2+2x-4 \Leftrightarrow x=0,$
* $f(x) > g(x) \Leftrightarrow x^2-4x+5>x^2+2x-4 \Leftrightarrow x<\frac{3}{2},$
* $f(x)> 2x-4 g(x) \Leftrightarrow x^2-4x+5>2x-4 \Leftrightarrow x\neq 3,$
* $2x-4 < g(x) \Leftrightarrow 2x-4<x^2+2x-4 \Leftrightarrow x \neq 0.$
Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδό είναι ίσο με
$\displaystyle{E=\int_0^{3/2}[ g(x)-(2x-4)]dx+\int_{3/2}^3[ f(x)-(2x-4)]dx=\int_0^{3/2} x^2dx+\int_{3/2}^3(x^2-6x+9)dx=}$
$\displaystyle{=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{3/2}+\left[ \frac{x^3}{3}-3x^2+9x \right]_{3/2}^3=\frac{9}{8}+9-27+27-\frac{9}{8}+\frac{27}{4}-\frac{27}{2}}$
άρα
$\displaystyle{E=\frac{9}{4}\; \tau. \; \mu.}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Απρ 15, 2023 10:58 pm**

Doloros έγραψε: Τετ Απρ 12, 2023 8:37 pm Δίδονται οι συναρτήσεις με : $f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 5\,\,\kappa \alpha \iota \,\,g\left( x \right) = {x^2} + 2x - 4$ .

α) Δείξετε ότι η εφαπτομένη της ${C_f}$ στο $A\left( {3,f\left( 3 \right)} \right)$ εφάπτεται της ${C_g}$ σε κάποιο σημείο της , του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες .