Σελίδα 1 από 1
Παραμετρικό σύστημα ανισώσεων
Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 17, 2023 7:04 pm
από Al.Koutsouridis
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου
, για κάθε μία από τις οποίες η λύση του συστήματος
είναι ευθύγραμμο τμήμα (στον άξονα των πραγματικών αριθμών) μήκους
.
Re: Παραμετρικό σύστημα ανισώσεων
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μάιος 02, 2024 11:41 am
από vgreco
Al.Koutsouridis έγραψε: Δευ Απρ 17, 2023 7:04 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου
, για κάθε μία από τις οποίες η λύση του συστήματος
είναι ευθύγραμμο τμήμα (στον άξονα των πραγματικών αριθμών) μήκους
.
Ισοδύναμα, το σύστημα γράφεται:
![\displaystyle{
\begin{aligned}
\left\{\begin{matrix}
a + 3x \leq 12 \\
a + 4x \geq x^2 \\
a \leq x
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
a \le x \leq 4 - \dfrac{a}{3} \\[0.15in]
x^2 - 4x - a \le 0
\end{matrix}\right.
&\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
a \le x \leq 4 - \dfrac{a}{3} \\[0.15in]
2 - \sqrt{a + 4} \le x \le 2 + \sqrt{a + 4}
\end{matrix}\right.
\\[0.15in]
&\Leftrightarrow
x \in \biggl[ \max \Bigl\{ a, 2 - \sqrt{a + 4} \Bigr\}, \min \Bigl\{ 4 - \dfrac{a}{3}, 2 + \sqrt{a + 4} \Bigr\} \biggr]
\end{aligned}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2b7e2f05995288abb1292a635ca4bf2c.png "\displaystyle{
\begin{aligned}
\left\{\begin{matrix}
a + 3x \leq 12 \\
a + 4x \geq x^2 \\
a \leq x
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
a \le x \leq 4 - \dfrac{a}{3} \\[0.15in]
x^2 - 4x - a \le 0
\end{matrix}\right.
&\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
a \le x \leq 4 - \dfrac{a}{3} \\[0.15in]
2 - \sqrt{a + 4} \le x \le 2 + \sqrt{a + 4}
\end{matrix}\right.
\\[0.15in]
&\Leftrightarrow
x \in \biggl[ \max \Bigl\{ a, 2 - \sqrt{a + 4} \Bigr\}, \min \Bigl\{ 4 - \dfrac{a}{3}, 2 + \sqrt{a + 4} \Bigr\} \biggr]
\end{aligned}
}")
όπου δεχόμενοι ότι το σύστημα έχει λύση υποθέσαμε ότι:
![\displaystyle{
\begin{aligned}
\left\{
\begin{aligned}
&a + 4 \ge 0 \\[0.05in]
&a \le 4 - \dfrac{a}{3} \\[0.05in]
&2 - \sqrt{a + 4} \le 2 + \sqrt{a + 4}
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow
\boxed{a \in [-4, 3]}
\end{aligned}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ffeb0bd3dcc91fed65fe9a96a6763a89.png "\displaystyle{
\begin{aligned}
\left\{
\begin{aligned}
&a + 4 \ge 0 \\[0.05in]
&a \le 4 - \dfrac{a}{3} \\[0.05in]
&2 - \sqrt{a + 4} \le 2 + \sqrt{a + 4}
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow
\boxed{a \in [-4, 3]}
\end{aligned}
}")
και φυσικά πως το διάστημα που ανήκει το
είναι καλώς ορισμένο. Όμως:
![\displaystyle{
\begin{aligned}
\bullet \;
\min \Bigl\{ 4 - \dfrac{a}{3}, 2 + \sqrt{a + 4} \Bigr\}
= \dfrac{1}{2} \Biggl( 6 - \dfrac{a}{3} + \sqrt{a + 4} - \biggl| 2 - \dfrac{a}{3} - \sqrt{a + 4} \biggr| \Biggr)
=
\left\{
\begin{aligned}
&4 - \dfrac{a}{3}, \quad &\text{ \textgreek{αν} } a \in [0, 3] \\
&2 + \sqrt{a + 4}, \quad &\text{ \textgreek{αν} } a \in [-4, 0]
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/effa5de2908c9058d2b6aa54d1d5463d.png "\displaystyle{
\begin{aligned}
\bullet \;
\min \Bigl\{ 4 - \dfrac{a}{3}, 2 + \sqrt{a + 4} \Bigr\}
= \dfrac{1}{2} \Biggl( 6 - \dfrac{a}{3} + \sqrt{a + 4} - \biggl| 2 - \dfrac{a}{3} - \sqrt{a + 4} \biggr| \Biggr)
=
\left\{
\begin{aligned}
&4 - \dfrac{a}{3}, \quad &\text{ \textgreek{αν} } a \in [0, 3] \\
&2 + \sqrt{a + 4}, \quad &\text{ \textgreek{αν} } a \in [-4, 0]
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}
}")
![\displaystyle{
\begin{aligned}
\bullet \;
\max \Bigl\{ a, 2 - \sqrt{a + 4} \Bigr\}
= \dfrac{1}{2} \biggl( 2 + a - \sqrt{a + 4} + \Bigr| 2 - a - \sqrt{a + 4} \Bigr| \biggr)
=
\left\{
\begin{aligned}
&a, &\text{ \textgreek{αν} } a \in [0, 3] \\
&2 - \sqrt{a + 4}, &\text{ \textgreek{αν} } a \in [-4, 0]
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/e9434ea5bd8915f0b8df78451ae72017.png "\displaystyle{
\begin{aligned}
\bullet \;
\max \Bigl\{ a, 2 - \sqrt{a + 4} \Bigr\}
= \dfrac{1}{2} \biggl( 2 + a - \sqrt{a + 4} + \Bigr| 2 - a - \sqrt{a + 4} \Bigr| \biggr)
=
\left\{
\begin{aligned}
&a, &\text{ \textgreek{αν} } a \in [0, 3] \\
&2 - \sqrt{a + 4}, &\text{ \textgreek{αν} } a \in [-4, 0]
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}
}")
αφού οι παραστάσεις στις απόλυτες τιμές φθίνουν γνήσια και έχουν (μοναδική) ρίζα το
.
Εύκολα τώρα, βρίσκω πως το πλάτος του διαστήματος που βρίσκεται το
εχει μήκος
αν και μόνο αν
ή
.