mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 24, 2023 9:59 pm**

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\,[a,b] \to \mathbb{R}$ , ώστε $f\left( x \right) = \int_a^b {f\left( t \right)} dt$ για κάθε $x \in \left[ {a,b} \right]$ και , ${f^2}\left( a \right) \ne f\left( b \right)$ .

Δείξετε ότι : b - a = 1

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 24, 2023 10:54 pm**

Doloros έγραψε: Δευ Απρ 24, 2023 9:59 pm Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\,[a,b] \to \mathbb{R}$ , ώστε $f\left( x \right) = \int_a^b {f\left( t \right)} dt$ για κάθε $x \in \left[ {a,b} \right]$ και , ${f^2}\left( a \right) \ne f\left( b \right)$ .

Δείξετε ότι :

Επειδή το $\int_a^b {f\left( t \right)} dt$ είναι αριθμός, ας τον πούμε

, η δοθείσα γράφεται f(x)=c

. Άρα $c=f(x)= \int_a^b {f\left( t \right)} dt = \int_a^b c\, dt = c(b-a) \, (*)$ . Όμως $c\ne 0$ γιατί αλλιώς θα είχαμε ${f^2}\left( a \right) = 0^2=0= f\left( b \right)$ , άτοπο.

Από την (*)

έχουμε (απλοποιώντας το

), ότι

, όπως θέλαμε.

mathematica.gr

Μια γραμμή λύση

Μια γραμμή λύση

Re: Μια γραμμή λύση