mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μάιος 12, 2023 7:34 pm**

Παραθέτω ένα όμορφο θέμα . Κάπου το είδα χθες. Τελικά το τεκμηρίωσα (όχι γεωμετρικά), αλλά ομολογώ ότι με δυσκόλεψε στις πράξεις !! Θα ήθελα να δω κάποια λύση.

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC

με ύψος

το σημείο επαφής του έγκυκλου του τριγώνου με την πλευρά του

και

τα μέσα των πλευρών AB,AC

αντίστοιχα και προέκυψε ότι AH<AK<AM.

Η εκ του

παράλληλος προς την ευθεία

τέμνει το τμήμα

στο

Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο AMSK

είναι περιγράψιμο.

Υ.Σ Προτίθεμαι να γράψω τη λύση μου με μετρικές σχέσεις το βραδάκι ίσως.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μάιος 13, 2023 3:07 pm**

Αφού πρώτα υποκλιθώ βαθιά στα αδιανόητα χαρισματικά παιδιά μας για την υπερπροσπάθεια που λέγεται BMO, βάζω μία λύση.

Έχουμε $\displaystyle \frac{SM}{MN}^{PS\parallel MH}=\frac{HK}{HN}=\frac{\displaystyle \frac{\beta +\gamma -\alpha }{2}-\frac{\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}{2\beta }}{\displaystyle \frac{\beta }{2}-\frac{\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}{2\beta }}=\frac{\left ( \alpha -\gamma \right )\left ( \alpha +\gamma -\beta \right )}{\left ( \alpha -\gamma \right )\left ( \alpha +\gamma \right )}\left ( 1 \right )$

Αυτή γράφεται απλούστερα ως $\displaystyle SM=\frac{\alpha \left ( \alpha +\gamma -\beta \right )}{2\left ( \alpha +\gamma \right )}\left ( 1 \right )$

Επιπλέον $\displaystyle \frac{PS}{MH}^{PS\parallel MH}=\frac{KN}{HN}=\frac{\displaystyle \frac{\beta }{2}-\frac{\beta +\gamma -\alpha }{2}}{\displaystyle \frac{\beta }{2}-\frac{\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}{2\beta }}=\frac{\beta \left ( \alpha -\gamma \right )}{\left ( \alpha +\gamma \right )\left ( \alpha -\gamma \right )}=\frac{\beta }{\alpha +\gamma }\left ( 2 \right )$

Αυτή γράφεται απλούστερα ως $\displaystyle PS=\frac{\beta \gamma }{2\left ( \alpha +\gamma \right )}\left ( 2 \right )$

Από $\displaystyle \left ( 1 \right ),\left ( 2 \right )\Rightarrow PM-PS=\frac{\alpha \left ( \alpha +\gamma -\beta \right )-\beta \gamma }{2\left ( \alpha +\gamma \right )}=\frac{\left ( \alpha -\beta \right )\left ( \alpha +\gamma \right )}{2\left ( \alpha +\gamma \right )}=\frac{\alpha -\beta }{2}\left ( 3 \right )$

$\displaystyle AM-AS=\frac{\gamma }{2}-\frac{\beta +\gamma -\alpha }{2}=\frac{\alpha -\beta }{2}\left ( 4 \right )$

Από $\left ( 3 \right ),\left ( 4 \right )\Rightarrow PM-PS=AM-AK\Leftrightarrow \boxed{PM+AK=PS+AM}$ που δίνει το ζητούμενο.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 11, 2023 3:34 pm**

Θα με ενδιέφερε κάτι πιο συνθετικό !!

Μήπως έχει κάποιος απλουστερη λύση ;;

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 12, 2023 8:29 am**

Henri van Aubel έγραψε: Παρ Μάιος 12, 2023 7:34 pm Παραθέτω ένα όμορφο θέμα . Κάπου το είδα χθες. Τελικά το τεκμηρίωσα (όχι γεωμετρικά), αλλά ομολογώ ότι με δυσκόλεψε στις πράξεις !! Θα ήθελα να δω κάποια λύση.

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με ύψος το σημείο επαφής του έγκυκλου του τριγώνου με την πλευρά του
και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα και προέκυψε ότι Η εκ του παράλληλος προς την ευθεία τέμνει το τμήμα στο Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι περιγράψιμο.

Καλημέρα καλημέρα με μία άποψη.
Θεωρούμε στο τρίγωνο AMN

το έκκεντρο του

Είναι καθαρό ότι $MQ\parallel BI \Rightarrow AQ = QI = QK.$ Άρα έχουμε $\displaystyle{\angle AHM = \angle MAH = \angle AKS \Rightarrow \angle AKQ = QKS.}$
Εδώ τελικά παίρνουμε ότι οι διχοτόμοι τριών γωνιών του κυρτού τετράπλευρου AMSK

συγκλίνουν και βέβαια αυτό μας οδηγεί στην απάντηση.

: asdf.png (44.53 KiB) Προβλήθηκε 1342 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 12, 2023 9:19 am**

S.E.Louridas έγραψε: Δευ Ιουν 12, 2023 8:29 am
Henri van Aubel έγραψε: Παρ Μάιος 12, 2023 7:34 pm Παραθέτω ένα όμορφο θέμα . Κάπου το είδα χθες. Τελικά το τεκμηρίωσα (όχι γεωμετρικά), αλλά ομολογώ ότι με δυσκόλεψε στις πράξεις !! Θα ήθελα να δω κάποια λύση.

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με ύψος το σημείο επαφής του έγκυκλου του τριγώνου με την πλευρά του
και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα και προέκυψε ότι Η εκ του παράλληλος προς την ευθεία τέμνει το τμήμα στο Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι περιγράψιμο.
Καλημέρα καλημέρα με μία άποψη.
Θεωρούμε στο τρίγωνο το έκκεντρο του Είναι καθαρό ότι $MQ\parallel BI \Rightarrow AQ = QI = QK.$ Άρα έχουμε $\displaystyle{\angle AHM = \angle MAH = \angle AKS \Rightarrow \angle AKQ = QKS.}$
Εδώ τελικά παίρνουμε ότι οι διχοτόμοι τριών γωνιών του κυρτού τετράπλευρου συγκλίνουν και βέβαια αυτό μας οδηγεί στην απάντηση.asdf.png

Πολύ καλό

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιουν 12, 2023 10:28 am**

S.E.Louridas έγραψε: Δευ Ιουν 12, 2023 8:29 am
Henri van Aubel έγραψε: Παρ Μάιος 12, 2023 7:34 pm Παραθέτω ένα όμορφο θέμα . Κάπου το είδα χθες. Τελικά το τεκμηρίωσα (όχι γεωμετρικά), αλλά ομολογώ ότι με δυσκόλεψε στις πράξεις !! Θα ήθελα να δω κάποια λύση.

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με ύψος το σημείο επαφής του έγκυκλου του τριγώνου με την πλευρά του
και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα και προέκυψε ότι Η εκ του παράλληλος προς την ευθεία τέμνει το τμήμα στο Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι περιγράψιμο.
Καλημέρα καλημέρα με μία άποψη.
Θεωρούμε στο τρίγωνο το έκκεντρο του Είναι καθαρό ότι $MQ\parallel BI \Rightarrow AQ = QI = QK.$ Άρα έχουμε $\displaystyle{\angle AHM = \angle MAH = \angle AKS \Rightarrow \angle AKQ = QKS.}$
Εδώ τελικά παίρνουμε ότι οι διχοτόμοι τριών γωνιών του κυρτού τετράπλευρου συγκλίνουν και βέβαια αυτό μας οδηγεί στην απάντηση.asdf.png

Όπως πάντα μαγικός!!

Με εκτίμηση,

Κώστας

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 13, 2023 11:54 pm**

Αν

είναι το συμμετρικό του

ως προς

, τότε η δεύτερη εφαπτομένη από το

προς τον κύκλο

είναι παράλληλη της

. Το τετράπλευρο που σχηματίζει αυτή η εφαπτομένη με τις πλευρές του ABC

, είναι περιγράψιμο, άρα και το ομοιόθετό του AMSK

είναι περιγράψιμο.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 14, 2023 11:07 am**

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: Τρί Ιουν 13, 2023 11:54 pm Αν είναι το συμμετρικό του ως προς , τότε η δεύτερη εφαπτομένη από το προς τον κύκλο είναι παράλληλη της . Το τετράπλευρο που σχηματίζει αυτή η εφαπτομένη με τις πλευρές του , είναι περιγράψιμο, άρα και το ομοιόθετό του είναι περιγράψιμο.

mathematica.gr

Περιγράψιμο

Περιγράψιμο

Re: Περιγράψιμο

Re: Περιγράψιμο

Re: Περιγράψιμο

Re: Περιγράψιμο

Re: Περιγράψιμο

Re: Περιγράψιμο

Re: Περιγράψιμο