mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 16, 2023 4:26 pm**

Αν για τον πραγματικό αριθμό

ισχύει $\displaystyle \sqrt[3]{{3458 + {a^3}}} + \sqrt[3]{{25991 - {a^3}}} = 49,$

να βρείτε την τιμή του $\displaystyle A=|\sqrt[3]{{3458 + {a^3}}} - \sqrt[3]{{25991 - {a^3}}}|$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 16, 2023 5:13 pm**

Ας είναι: $x=\sqrt[3]{3458+a^3}$ και $y=\sqrt[3]{25991-a^3}$
Τότε, προκύπτει από τη δοθείσα ισότητα: x+y=49

Ταυτόχρονα, παρατηρούμε ότι: $x^3+y^3=3458+a^3+25991-a^3=29449\Leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)=29449\Leftrightarrow 49^2-3xy=601\Leftrightarrow xy=300$

Συνεπώς, προκύπτει το σύστημα: $\left\{\begin{matrix} x+y=49\\ xy=600 \end{matrix}\right.$

Εύκολα βρίσκουμε ότι το σύστημα έχει λύσεις τα ζεύγη (x,y)=(25,24), (24,25)

και άρα σε κάθε περίπτωση: A=1

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 16, 2023 5:28 pm**

Θέτω $a=\sqrt[3]{3458+a^{3}}$ και $b=\sqrt[3]{25991-a^{3}}$
Έχουμε, από γνωστή ταυτότητα, ότι:
$\left ( a+b \right )\left ( a^{2} +b^{2}-ab\right )=a^{3}+b^{3}$
$a^{2}+b^{2}-ab=601$ (1)
Από ταυτότητα Euler έχουμε:
$a+b+\sqrt[3]{\left ( -49 \right )^{3}}=0\Rightarrow a^{3}+b^{3}-49^{3}=-3ab\cdot 49$
$2401\cdot 49-601\cdot 49=3\cdot 49ab\Rightarrow ab=600$
Αφαιρώντας το ab κατά μέλη στην (1), έχουμε:
$(a-b)^{2}=1\Rightarrow \left | a-b \right |=1$

mathematica.gr

Από άθροισμα σε απόλυτη διαφορά

Από άθροισμα σε απόλυτη διαφορά

Re: Από άθροισμα σε απόλυτη διαφορά

Re: Από άθροισμα σε απόλυτη διαφορά