mathematica.gr

Σε ένα συνεχές σύνολο πόση είναι η αναλογία του αριθμού των ρητών ως προς τον αριθμό των άρρητων; 0; Απόδειξη;

Καταρχάς και τα δυο σύνολα είναι άπειρα. Έχει νόημα το κλάσμα…η (μάλλον καλύτερα) μπορεί να οριστεί το κλάσμα...?

Θα το πω αλλιώς:

Έστω ένα συνεχές σύνολο, π.χ.: .

Αρχίζουμε να κάνουμε δειγματοληψία τυχαίων αριθμών μέσα σε αυτό το σύνολο:

τυχαίος αριθμός,
τυχαίοι αριθμοί,
...
τυχαίοι αριθμοί,
...

Όταν έχουμε επιλέξει τυχαίους αριθμούς, είναι οι ρητοί και οι άρρητοι, δηλαδή

Να αποδείξετε ότι:

Energy Engineer έγραψε: Πέμ Ιουν 08, 2023 5:31 pm Σε ένα συνεχές σύνολο πόση είναι η αναλογία του αριθμού των ρητών ως προς τον αριθμό των άρρητων; 0; Απόδειξη;

Οπως έχει διατυπωθεί το αρχικό ερώτημα, δεν έχει νόημα, άσε που δεν είναι ερώτημα για τον φάκελο Θεωρίας Αριθμών αλλά Θεωρίας Συνόλων.

Η σωστή διατύπωση θα ήταν η σύγκριση των πληθαρίθμων του συνόλου των ρητών και των αρρήτων αριθμών σε ένα διάστημα. Αλλά τότε η απάντηση είναι πασίγνωστη και η απόδειξη είναι σε όλα μα όλα τα βιβλία Θεωρίας Συνόλων. Συγκεκριμένα, οι ρητοί έχουν πληθάριθμο (αλέφ μηδέν) και οι άρρητοι πληθάριθμο του συνεχούς, δηλαδή , που είναι πολύ μεγαλύτερος. Έτσι η πιθανότητα να τραβήξεις ρητό αντί άρρητο από ένα διάστημα, είναι μηδενική.

Μια σχετική συζήτηση εδώ ---> https://math.stackexchange.com/question ... eal-number

mick7 έγραψε: Παρ Ιουν 09, 2023 7:46 am Μια σχετική συζήτηση εδώ ---> https://math.stackexchange.com/question ... eal-number

Σωστά. Θα παρατηρήσεις ότι στην παραπομπή λέει αυτό που επεσήμανα, ότι δηλαδή το πηλίκο που αναφέρει η αρχική διατύπωση του ερωτήματος δεν έχει νόημα.