mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 27, 2023 11:32 am**

: Λόγος υπό συνθήκη.png (17.84 KiB) Προβλήθηκε 1148 φορές

Ο κύκλος

έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο (O)

, τον τέμνει στο

και διέρχεται από το κέντρο

.

Σημείο

του

βρίσκεται στο εσωτερικό του (K)

. Οι

τέμνουν τον (K)

στα σημεία Q , P

.

α) Δείξτε ότι : PS=PQ

... β) Αν επιπλέον η

διχοτομεί την $\widehat{OPQ}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PO}{PQ}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 27, 2023 1:09 pm**

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 27, 2023 11:32 am Λόγος υπό συνθήκη.pngΟ κύκλος έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο , τον τέμνει στο και διέρχεται από το κέντρο .

Σημείο του βρίσκεται στο εσωτερικό του . Οι τέμνουν τον στα σημεία .

α) Δείξτε ότι : ... β) Αν επιπλέον η διχοτομεί την $\widehat{OPQ}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PO}{PQ}$

α) Είναι προφανές γιατί το $\vartriangle PQS \approx \vartriangle OST$ ( το οποίο είναι ισοσκελές)

: Λόγος υπό συνθήκη.png (23.36 KiB) Προβλήθηκε 1126 φορές

β) Έστω ,χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι R = 1

. Από το Θ. Συνημίτονου στο $\vartriangle TOQ$ έχω: $OQ = \sqrt 3$ .

Από το Θ Πτολεμαίου στο OPQT

: $x + y = y \cdot OQ \Rightarrow x + y = y\sqrt 3 \Rightarrow \boxed{\frac{y}{x} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 27, 2023 5:19 pm**

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 27, 2023 11:32 am Λόγος υπό συνθήκη.pngΟ κύκλος έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο , τον τέμνει στο και διέρχεται από το κέντρο .

Σημείο του βρίσκεται στο εσωτερικό του . Οι τέμνουν τον στα σημεία .

α) Δείξτε ότι : ... β) Αν επιπλέον η διχοτομεί την $\widehat{OPQ}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PO}{PQ}$

Ας είναι η ακτίνα των ίσων κύκλων, R = 1

. Έστω

το άλλο κοινό σημείο των δύο κύκλων .

α) $\vartriangle PQS$ είναι όμοιο με το ισοσκελές $\vartriangle OST$ άρα κι αυτό ισοσκελές .

: Λόγος υπό συνθήκη_new.png (21.64 KiB) Προβλήθηκε 1097 φορές

β) Έστω

το άλλο σημείο τομής της

με τον κύκλο $\left( {O,1} \right)$ , το $\vartriangle TOK \approx \vartriangle EQZ$ άρα και το $\vartriangle EQZ$ είναι ισόπλευρο πλευράς

συνεπώς :

$\boxed{QO = \frac{{EZ\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \,\,\left( 1 \right)}$ . Επίσης $\vartriangle POT \approx \vartriangle PQS \Rightarrow \boxed{\frac{{PO}}{{PQ}} = \frac{{OT}}{{SQ}} = \frac{1}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 27, 2023 6:15 pm**

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 27, 2023 11:32 am Λόγος υπό συνθήκη.pngΟ κύκλος έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο , τον τέμνει στο και διέρχεται από το κέντρο .

Σημείο του βρίσκεται στο εσωτερικό του . Οι τέμνουν τον στα σημεία .

α) Δείξτε ότι : ... β) Αν επιπλέον η διχοτομεί την $\widehat{OPQ}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PO}{PQ}$

α) $\displaystyle P\widehat QO = O\widehat TP = T\widehat SO = P\widehat SQ \Rightarrow$ $\boxed{PS=PQ}$

: Υπό συνθήκη.png (24.64 KiB) Προβλήθηκε 1087 φορές

β) $\displaystyle T\widehat PO = \frac{{T\widehat KO}}{2} = 30^\circ$ και λόγω διχοτόμου, $\displaystyle Q\widehat PO = 60^\circ,$ άρα $\displaystyle Q\widehat OP = 45^\circ.$

Με νόμο Ημιτόνων στο POQ,

είναι $\displaystyle \frac{{PO}}{{PQ}} = \frac{{\sin 75^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{2\sqrt 2 }} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{PO}}{{PQ}} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 28, 2023 1:25 am**

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 27, 2023 11:32 am Λόγος υπό συνθήκη.pngΟ κύκλος έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο , τον τέμνει στο και διέρχεται από το κέντρο .

Σημείο του βρίσκεται στο εσωτερικό του . Οι τέμνουν τον στα σημεία .

α) Δείξτε ότι : ... β) Αν επιπλέον η διχοτομεί την $\widehat{OPQ}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PO}{PQ}$