mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 21, 2023 6:20 pm**

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 21, 2023 6:55 pm**

Καλησπέρα σε όλους.

Έστω ότι υπάρχει $x\in R$ ώστε $\sqrt {5 + \sqrt {13 + \sqrt {5 + \sqrt {13 + \sqrt \cdots } } } } = x$

Τότε $\displaystyle 5 + \sqrt {13 + \sqrt {5 + \sqrt {13 + \sqrt \cdots } } } = {x^2} \Leftrightarrow \sqrt {13 + \sqrt {5 + \sqrt {13 + \sqrt \cdots } } } = {x^2} - 5$

$\displaystyle \Leftrightarrow 13 + \underbrace {\sqrt {5 + \sqrt {13 + \sqrt \cdots } } }_x = {\left( {{x^2} - 5} \right)^2} \Leftrightarrow {x^4} - 10{x^2} - x + 12 = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^3} + 3{x^2} - x - 4} \right) = 0$

Είναι $\displaystyle {x^3} + 3{x^3} - x - 4 = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) - 1$ .

$\displaystyle x > \sqrt 5 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 1 > 4\\ x + 3 > 3 + \sqrt 5 \end{array} \right.$ οπότε $\displaystyle {x^3} + 3{x^3} - x - 4 > 6 + \sqrt 5$ , άρα η λύση είναι μοναδική.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 21, 2023 6:57 pm**

orestisgotsis έγραψε: Παρ Ιούλ 21, 2023 6:20 pm Να δειχθεί ότι: $\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{\cdots }}}}}=3$

Δεν κάνει για Α' Λυκείου ούτε για πλάκα: Ο ορισμός των άπειρων φωλιασμένων ριζικών εννοεί μία αριακή διαδικασία (κρυμμένη στις τρεις τελίτσες της εκφώνησης). Το ακριβές νόημα της παράστασης είναι

$\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \underset {n\, \rho \iota \zeta \iota k a}{ \underbrace{ \sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\cdots +\sqrt {13} }}}}} }}}$

Συνεχίζω με ύλη πρώτου έτους στο Πανεπιστήμιο, γι' αυτό και αφήνω έξω κάποιες λεπτομέρειες.

H ύπαρξη του αρίου είναι άμεση γιατί εύκολα βλέπουμε ότι η ακολουθία είναι αύξουσα και (επαγωγικά) φραγμένη. Αν

το όριό της τότε από την μοναδικότητα του ορίου και από την συνέχεια της συνάρτησης $f(x) = \sqrt x$ έχουμε

$L = \sqrt {5+ \sqrt {13+L}}$ .

Ισοδύναμα L^4-10L^2-L+12=0

. Έχει ρίζες α) την L=3

, β) μία μεταξύ

και

, γ) μία μεταξύ

και

και δ) μία μεταξύ

και

. Κράτάμε την πρώτη γιατί εύκολα βλέπουμε ότι η παράσταση είναι $>\sqrt 5 >2$ .

Edit: Με πρόλαβε ο Γιώργος. Το αφήνω για τον κόπο αλλά και γιατί έβαλα την ουσία της άσκησης που δεν είναι τίποτα άλλο από την τεκμηρίωση των βημάτων ότι μπορούμε να κάνουμε εναλλαγή ορίου και ριζικών.

mathematica.gr

Πολλά τα ριζικά

Πολλά τα ριζικά

Re: Πολλά τα ριζικά

Re: Πολλά τα ριζικά