mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 29, 2023 2:07 pm**

$\bigstar$ Να λυθεί η εξίσωση : 4^x+6^x=9^x

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 29, 2023 2:36 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 29, 2023 2:07 pm $\bigstar$ Να λυθεί η εξίσωση :

Θανάση καλημέρα !

Αυτο ( με άλλους αριθμούς ) ήταν ενα απο τα θέματα των πανελλαδικών που έγραψα πριν απο 47 χρονια

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 29, 2023 3:04 pm**

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Σάβ Ιούλ 29, 2023 2:36 pm
KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 29, 2023 2:07 pm $\bigstar$ Να λυθεί η εξίσωση :
Θανάση καλημέρα !

Αυτο ( με άλλους αριθμούς ) ήταν ενα απο τα θέματα των πανελλαδικών που έγραψα πριν απο 47 χρονια

Καλησπέρα Στάθη!

Το θέμα ήταν μιας ερώτησης δηλαδή ;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 29, 2023 4:22 pm**

Henri van Aubel έγραψε: Σάβ Ιούλ 29, 2023 3:04 pm
Καλησπέρα Στάθη! Το θέμα ήταν μιας ερώτησης δηλαδή ;

Ήταν το θέμα 1(γ) το 1977 στον Πολυτεχνικό-Φυσικομαθηματικό κύκλο, στην παραλλαγή του 3^x+4^x=5^x

.

Βλέπε π.χ. εδώ (και μετά πάτα στον "02/Πολυτενχικός ... κύκλος 'Αλγεβρα) ή εδώ (ανοίγει απευθείας).

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 29, 2023 4:27 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Ιούλ 29, 2023 4:22 pm
Henri van Aubel έγραψε: Σάβ Ιούλ 29, 2023 3:04 pm
Καλησπέρα Στάθη! Το θέμα ήταν μιας ερώτησης δηλαδή ;
Ήταν το θέμα 1(γ) το 1977 στον Πολυτεχνικό-Φυσικομαθηματικό κύκλο.

Βλέπε π.χ. εδώ (και μετά πάτα στον "02/Πολυτενχικός ... κύκλος 'Αλγεβρα) ή εδώ (ανοίγει απευθείας).

Σας ευχαριστώ πολύ, τώρα βγάζει νόημα το πράγμα !

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 29, 2023 4:34 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 29, 2023 2:07 pm $\bigstar$ Να λυθεί η εξίσωση :

Θανάση, είσαι σίγουρος ότι έχεις βάλει τα σωστά νούμερα; Βρίσκω (την μοναδική) ρίζα μόνο κατά προσέγγιση και αυτή με κομπιουτεράκι.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μήπως π.χ. το

έπρεπε να ήταν

;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 29, 2023 4:50 pm**

Τα νούμερα είναι σωστά και ζητάμε λύση με ύλη Β' Λυκείου .

Φυσικά η πρώτη σκέψη μας "σπρώχνει" να θεωρήσουμε συνάρτηση και να βρούμε

λύση με χρήση θεωρημάτων από την ύλη της Ανάλυσης της Γ' Λυκείου ...

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 29, 2023 5:18 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 29, 2023 4:50 pm Τα νούμερα είναι σωστά και ζητάμε λύση με ύλη Β' Λυκείου .

Φυσικά η πρώτη σκέψη μας "σπρώχνει" να θεωρήσουμε συνάρτηση και να βρούμε

λύση με χρήση θεωρημάτων από την ύλη της Ανάλυσης της Γ' Λυκείου ...

Σωστά. Με την ωραία έμεση υπόδειξη τώρα έχω λύση. Γράφω σε hide το πρώτο βήμα αφού η άσκηση απευθύνεται για 24 ώρες σε μαθητές. Αν δεν λυθεί από μαθητές, θα επανέλθω.
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 04, 2023 1:49 am**

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 29, 2023 2:07 pm $\bigstar$ Να λυθεί η εξίσωση :

Ξεχάστηκε.

Διαιρούμε με το $4^{x}$ οπότε ισοδύναμα $1+ \left ( \dfrac {6}{4} \right ) ^x = \left ( \dfrac {9}{4} \right ) ^x$ . Η τελευταία γράφεται και ως $1+ \left ( \dfrac {3}{2} \right ) ^x = \left ( \dfrac {3}{2} \right ) ^{2x}$ η οποία είναι δευτεροβάθμια ως προς $\left ( \dfrac {3}{2} \right ) ^x$ . Λύνοντας θα βρούμε

$\left ( \dfrac {3}{2} \right ) ^x = \dfrac {1\pm \sqrt 5} {2}$ .

Kρατάμε την θετική τιμή. Παίρνοντας λογαρίθμους θα βρούμε $x = \dfrac {\log (1+ \sqrt 5) - \log 2}{\log 3 -\log 2}$