mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 17, 2023 8:49 am**

: Ωραίος τύπος.png (9.41 KiB) Προβλήθηκε 1291 φορές

Η μεσοκάθετος της υποτείνουσας

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, τέμνει την μεγαλύτερη κάθετη πλευρά

στο σημείο

. Αν :

, βρείτε τον "τύπο" του τριγώνου ( π.χ. με τον υπολογισμό της $\tan B$ ) .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 17, 2023 10:01 am**

KARKAR έγραψε: Πέμ Αύγ 17, 2023 8:49 am Η μεσοκάθετος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνει την μεγαλύτερη κάθετη πλευρά

στο σημείο . Αν : , βρείτε τον "τύπο" του τριγώνου ( π.χ. με τον υπολογισμό της $\tan B$ ) .
.

Από τα όμοια τρίγωνα BSM, BCA

είναι:

: Ωραίος τύπος.png (8.18 KiB) Προβλήθηκε 1284 φορές

$\displaystyle \frac{a}{{2c}} = \frac{{SM}}{b} = \frac{{SB}}{a} = \frac{{SC}}{a} = \frac{{SM + SC}}{{a + b}} = \frac{a}{{a + b}} \Leftrightarrow a + b = 2c$ κι επειδή a^2=b^2+c^2,

θα είναι $c=\dfrac{4b}{3},$ οπότε το τρίγωνο είναι του τύπου (3-4-5).

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Αύγ 18, 2023 10:49 am**

KARKAR έγραψε: Πέμ Αύγ 17, 2023 8:49 am Ωραίος τύπος.pngΗ μεσοκάθετος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνει την μεγαλύτερη κάθετη πλευρά

στο σημείο . Αν : , βρείτε τον "τύπο" του τριγώνου ( π.χ. με τον υπολογισμό της $\tan B$ ) .

Πιο μπερδεμένη λύση ( Από του Γιώργου ) και εκτός φακέλου .

Προεκτείνω την

προς το

κατά ,

. Φέρνω στην

κάθετη στο

και τέμνει την ευθεία

στο

.

Ας είναι : $SB = k\,\,,\,\,SM = y \Rightarrow JC = 2y\,\,$ . Δίδεται ότι $y + k = a \Leftrightarrow k = a - y\,\,\left( * \right)$

Από την προφανή ομοιότητα των $\vartriangle ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle CBJ$ έχω : $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AJ}}{{CJ}} \Rightarrow \dfrac{c}{b} = \dfrac{a}{{2y}} \Rightarrow ab = 2cy\,\,\left( 1 \right)$ .

: Ωραίος τύπος_new.png (13.86 KiB) Προβλήθηκε 1218 φορές

Λόγω της $\left( * \right)$ και της ομοιότητας των $\vartriangle ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle MBS$ έχω: $\dfrac{{AC}}{{MS}} = \dfrac{{BC}}{{BS}} \Rightarrow \dfrac{b}{y} = \dfrac{a}{{a - y}} \Rightarrow \left( {a + b} \right)y = ab\,\,\left( 2 \right)$ .

Από τις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ διώχνω το

και προκύπτει $a + b = 2c\,\,\left( 3 \right)$ .

Επειδή ( και λόγω της $\left( 3 \right)$ ), $\tan \omega = \dfrac{{AB}}{{AT}} = \dfrac{c}{{a + b}} = \dfrac{1}{2}$ και ακόμα $2\omega = 90^\circ - \theta$ έχω:

$\tan 2\omega = \cot \theta \Rightarrow \dfrac{{2 \cdot \dfrac{1}{2}}}{{1 - \dfrac{1}{4}}} = \dfrac{c}{b} \Rightarrow \boxed{\dfrac{c}{b} = \dfrac{4}{3}}$ και άρα το $\vartriangle ABC \to \left( {4\lambda ,5\lambda ,3\lambda } \right)\,\,,\lambda > 0$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 19, 2023 7:12 pm**

KARKAR έγραψε: Πέμ Αύγ 17, 2023 8:49 am Ωραίος τύπος.pngΗ μεσοκάθετος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνει την μεγαλύτερη κάθετη πλευρά

στο σημείο . Αν : , βρείτε τον "τύπο" του τριγώνου ( π.χ. με τον υπολογισμό της $\tan B$ ) .

$xc=\dfrac{a^2}{2} \Rightarrow x^2= \dfrac{a^4}{4c^2}$ .Ακόμη x+y=a

και $x^2=y^2+\dfrac{a^2}{4}$

Από τις παραπάνω,εύκολα παίρνουμε $a=\dfrac{5c}{4}$ οπότε $b=\dfrac{3c}{4}$ άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο μορφής (3-4-5)