mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 27, 2023 1:19 pm**

: Σαρανταπεντάρι.png (14.8 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές

Ο κύκλος

του σχήματος , έχει εξίσωση : x^2+y^2=25

.

Οι τέμνουσες SAB

και

, έχουν κλίσεις $\dfrac{1}{3}$ και $-\dfrac{1}{3}$ αντίστοιχα .

Βρείτε την τετμημένη του σημείου

, ώστε να είναι : (ABCD)=45

.

Είναι άραγε δυνατόν το εν λόγω εμβαδόν να γίνει μεγαλύτερο από

;

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Αύγ 29, 2023 12:08 pm**

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 27, 2023 1:19 pm Σαρανταπεντάρι.png Ο κύκλος του σχήματος , έχει εξίσωση : .

Οι τέμνουσες και , έχουν κλίσεις $\dfrac{1}{3}$ και $-\dfrac{1}{3}$ αντίστοιχα .

Βρείτε την τετμημένη του σημείου , ώστε να είναι : .

Είναι άραγε δυνατόν το εν λόγω εμβαδόν να γίνει μεγαλύτερο από ;

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Ας είναι $M\,,\,\,T$ οι προβολές των $A\,,\,\,B$ στην

.

Θέτω $MA = x \Rightarrow SM = 3x$ . Αν επιλέξω $OA \bot OB$ θα είναι,(Τριγωνομετρικά ή αλλιώς) : $OM = 2x\,\,,\,\,OT = x$ και έτσι :

$\left( {AMTB} \right)$ = $\dfrac{{x + 2x}}{2}3x = \dfrac{{9{x^2}}}{2}$ και $\left( {AMTB} \right) = 2\left( {AMO} \right) + \left( {OAB} \right) = 2{x^2} + \dfrac{{25}}{2}$ άρα:

: σαρανταπεντάρι_Ευκλείδεια_1.png (19.98 KiB) Προβλήθηκε 498 φορές

$\frac{{9{x^2}}}{2} = 2{x^2} + \dfrac{{25}}{2} \Rightarrow x = \sqrt 5$ , συνεπώς $\left( {AMTB} \right) = 9 \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{{45}}{2} \Rightarrow \left( {ABCD} \right) = 45$

Τότε , $OS = 5x \Rightarrow \boxed{S\left( { - 5\sqrt 5 ,0} \right)}$ .

Για το δεύτερο ερώτημα : το ${\left( {ABCD} \right)_{\max }} = 45$ (χωρίς αυστηρή δικαιολογία )

mathematica.gr

Σαρανταπεντάρι

Σαρανταπεντάρι

Re: Σαρανταπεντάρι