mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 30, 2023 7:05 am**

: Τριλογία.png (8.92 KiB) Προβλήθηκε 793 φορές

$\bigstar$ Στο εσωτερικό τμήματος

κινείται σημείο

. Γράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου

,

προς το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

. Βρείτε τον λόγο : $\dfrac{SB}{SA}$ , έτσι ώστε :

$\dfrac{BT}{BA}=\dfrac{1}{2}$ και στην περίπτωση αυτή υπολογίστε και τον λόγο : $\dfrac{BT}{AT}$ .

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και την "μη διδακτέα" ύλη του σχολικού βιβλίου .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 31, 2023 12:11 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 30, 2023 7:05 am Τριλογία.png $\bigstar$ Στο εσωτερικό τμήματος κινείται σημείο . Γράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου ,

προς το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Βρείτε τον λόγο : $\dfrac{SB}{SA}$ , έτσι ώστε :

$\dfrac{BT}{BA}=\dfrac{1}{2}$ και στην περίπτωση αυτή υπολογίστε και τον λόγο : $\dfrac{BT}{AT}$ .

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και την "μη διδακτέα" ύλη του σχολικού βιβλίου .

α)Ας είναι AB = 20k

. Θα ισχύει : $B{T^2} = BS \cdot BA\,\,\,\left( 1 \right)$ αλλά BA = 2BT

άρα η σχέση γίνεται :

$\dfrac{{B{A^2}}}{4} = BS \cdot BA \Rightarrow BA = 4BS \Rightarrow BS = 5k$ . άρα $\boxed{\dfrac{{SB}}{{SA}} = \dfrac{{5k}}{{15k}} = \dfrac{1}{3}}$

β) Ας είναι

το μέσο του

και

η προβολή του

στην

. Από την $\left( 1 \right)$ προκύπτει :

: τριλογία.png (21.01 KiB) Προβλήθηκε 750 φορές

$B{T^2} = 5k \cdot 20k \Rightarrow BT = 10k \Rightarrow BT = BM = 10k$ .Από Θ. διχοτόμου στο $\vartriangle THB$ θα έχω

$HS = 3k\,\,$ , οπότε , $TH = 6k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MH = 2k$ .

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle HTA$ , $\displaystyle T{A^2} = {\left( {12k} \right)^2} + {\left( {6k} \right)^2} = 180{k^2} \Rightarrow TA = 6\sqrt 5$ έτσι τελικά :

$\boxed{\dfrac{{TB}}{{TA}} = \dfrac{{10}}{{6\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 31, 2023 11:35 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 30, 2023 7:05 am Τριλογία.png $\bigstar$ Στο εσωτερικό τμήματος κινείται σημείο . Γράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου ,

προς το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Βρείτε τον λόγο : $\dfrac{SB}{SA}$ , έτσι ώστε :

$\dfrac{BT}{BA}=\dfrac{1}{2}$ και στην περίπτωση αυτή υπολογίστε και τον λόγο : $\dfrac{BT}{AT}$ .

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και την "μη διδακτέα" ύλη του σχολικού βιβλίου .

Έστω

το κέντρο του ημικυκλίου. Θέτω BT=4x

οπότε

: Τριλογία.Κ.png (11.57 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές

α) $\displaystyle B{T^2} = BS \cdot BA \Leftrightarrow BS = 2x.$ Άρα, $\displaystyle \frac{{SB}}{{SA}} = \frac{1}{3}$

β) $\displaystyle \cos B = \frac{{BT}}{{OB}} = \frac{4}{5}$ και με νόμο συνημιτόνου στο ATB

βρίσκω $\displaystyle AT = \frac{{12x}}{{\sqrt 5 }},$ οπότε $\boxed{\frac{{BT}}{{AT}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Αύγ 31, 2023 5:10 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Αύγ 30, 2023 7:05 am Τριλογία.png $\bigstar$ Στο εσωτερικό τμήματος κινείται σημείο . Γράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου ,

προς το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Βρείτε τον λόγο : $\dfrac{SB}{SA}$ , έτσι ώστε :

$\dfrac{BT}{BA}=\dfrac{1}{2}$ και στην περίπτωση αυτή υπολογίστε και τον λόγο : $\dfrac{BT}{AT}$ .

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε και την "μη διδακτέα" ύλη του σχολικού βιβλίου .

Ο κύκλος

τέμνει την

στα

κι επειδή $\dfrac{BA}{BT}=2$ θα έχουμε BT=AM=MB=BC

$BT^2=BS.BA=BS.2BT\Rightarrow TB=MB=AM=2BS \Rightarrow \dfrac{SB}{SA}= \dfrac{1}{3}$

$\dfrac{(ATM)}{(TBS)}= \dfrac{2x}{x}=2= \dfrac{TA.AM}{TS.TB} \Rightarrow \dfrac{TA}{TS}=2$

Τότε από Π.Θ στο τρίγωνο $ATS\Rightarrow AT= \dfrac{6x}{ \sqrt{5} } \Rightarrow \dfrac{2x}{AT}= \dfrac{ \sqrt{5} }{3} \Rightarrow \dfrac{BT}{AT}= \dfrac{ \sqrt{5} }{3}$

: Τριλογία.png (20.94 KiB) Προβλήθηκε 683 φορές

mathematica.gr

Τριλογία

Τριλογία

Re: Τριλογία

Re: Τριλογία

Re: Τριλογία