mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 10, 2023 3:05 pm**

them_mathimatika_epan_230909-1.pdf: (227.24 KiB) Μεταφορτώθηκε 225 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 22, 2023 4:29 pm**

Το 2023 είχαμε δύο επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά.
Οι πρώτες έγιναν στις 9 Σεπτεμβρίου. Λόγω των έκτακτων συνθηκών που έπληξαν κάποιες περιοχές της Ελλάδας εκείνες τις στιγμές
αποφασίστηκε να γίνουν στις 15 Σεπτεμβρίου επαναληπτικές εξετάσεις σε Αρχαία, Μαθηματικά και Βιολογία.
Αυτό γιατί κάποιοι υποψήφιοι είχαν αδυναμία προσέλευσης στα εξεταστικά κέντρα στις 9 Σεπτεμβρίου.
Παρακάτω επισυνάπτω τα θέματα των δεύτερων επαναληπτικών εξετάσεων στα Μαθηματικά.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ_ΕΠΑΝΑΛ_2023_09_15.pdf: (232.24 KiB) Μεταφορτώθηκε 117 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 22, 2023 4:30 pm**

Aς δούμε το 4ο θέμα της 15-9-2023.

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει:

$\displaystyle x^{2}\cdot f\left ( \frac{1}{x} \right )=\eta \mu x,$ για κάθε $x\neq 0.$

Δ1. Να αποδείξετε ότι $f\left ( x \right ) =\begin{cases}\displaystyle x^{2} \cdot \eta \mu \frac{1}{x}, x\neq 0 \right ] \\ 0, \displaystyle,x=0\end{cases}$
ΜΟΝΑΔΕΣ 5

Δ2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

στο σημείο $O\left ( 0,0 \right ).$

ΜΟΝΑΔΕΣ 8

Δ3. Nα βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

στο $+\infty.$

ΜΟΝΑΔΕΣ 6

Δ4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

$\displaystyle I=\int_{-1}^{1}f\left ( x \right )\cdot \sigma \upsilon \nu xdx$

ΜΟΝΑΔΕΣ 6

ΛΥΣΗ

Δ1. Ας δούμε τι γίνεται όταν $x\neq 0.$

Aν στη θέση του

μπει το $\displaystyle \frac{1}{x}$ προκύπτει ότι

$\displaystyle \left ( \frac{1}{x} \right )^{2}f\left ( x \right )=\eta \mu x\Rightarrow f\left ( x \right )=x^{2}\cdot \eta \mu \frac{1}{x}$

H

είναι συνεχής σε όλο το $\mathbb{R},$ άρα και στο

Άρα $\displaystyle{ \lim_{x\to0}f\left ( x \right )=f\left ( 0 \right ).$

Όμως $\displaystyle \lim_{x\to0}f\left ( x \right )=\lim_{x\to0}\left ( x^{2} \cdot \eta \mu \frac{1}{x}\right )=0.$

Aν κάποιος δεν καταλαβαίνει γιατί $\displaystyle\lim_{x\to0}\left ( x^{2} \cdot \eta \mu \frac{1}{x}\right )=0$ , αυτό προκύπτει

από το $\displaystyle\left | x^{2}\cdot \eta \mu \frac{1}{x} \right |=\left | x^{2} \right |\cdot \left | \eta \mu \frac{1}{x} \right |\leq x^{2}\cdot 1=x^{2}$

που ισοδυναμεί με την ανισότητα $\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\cdot \eta \mu \frac{1}{x}\leq x^{2}$ και με χρήση του κριτηρίου παρεμβολής.

Συνεπώς $f\left ( 0 \right )=0.$

Aποδείχθηκε λοιπόν ότι $f\left ( x \right ) =\begin{cases}\displaystyle x^{2} \cdot \eta \mu \frac{1}{x}, x\neq 0 \right ] \\ 0, \displaystyle,x=0\end{cases}$

Δ2. Κατ' αρχήν ισχύει ότι $\displaystyle\lim_{x\to0}\left ( x \cdot \eta \mu \frac{1}{x}\right )=0$ .

Η απόδειξη είναι εντελώς ίδια με την απόδειξη του $\displaystyle\lim_{x\to0}\left ( x^{2} \cdot \eta \mu \frac{1}{x}\right )=0$ .

$\displaystyle f'\left ( 0 \right )=\lim_{x\to0}\frac{f\left ( x \right )-f\left ( 0 \right )}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\cdot \eta \mu \frac{1}{x}-0}{x}=\lim_{x\to0}\left ( x \cdot \eta \mu \frac{1}{x}\right )=0$

H εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

στο σημείο $O\left ( 0,0 \right )$ έχει εξίσωση

$y-f\left ( 0 \right )=f'\left ( 0 \right )\cdot\left ( x-0 \right )\Leftrightarrow y-0=0\cdot x\Leftrightarrow y=0$

H ζητούμενη εφαπτομένη είναι ο άξονας των τετμημένων.

Δ3. $\lambda = \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{f\left ( x \right )}{x}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x^{2}\cdot \eta \mu \frac{1}{x}}{x}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\left ( x\cdot \eta \mu\frac{1}{x} \right )=1$

$\displaystyle\beta =\lim_{x \rightarrow +\infty}\left [ f\left ( x \right )-x \right ]=\lim_{x \rightarrow +\infty}\left ( x^{2}\cdot \eta \mu \frac{1}{x}-x \right )=\lim_{x \rightarrow +\infty}\left [ x \left ( x\cdot \eta \mu \frac{1}{x}-1 \right ) \right ]=$

$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x\cdot \eta \mu \frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}}= \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\left ( x\cdot \eta \mu \frac{1}{x}-1 \right )'}{\left ( \frac{1}{x} \right )'}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\eta \mu \frac{1}{x}-\frac{1}{x}\cdot \sigma \upsilon \nu \frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}=$

$\displaystyle=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\left ( \eta \mu \frac{1}{x}-\frac{1}{x}\cdot \sigma \upsilon \nu \frac{1}{x}\right )'}{\left ( -\frac{1}{x^{2}} \right )'}=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-\frac{1}{x^{3}}\cdot \eta\mu\frac{1}{x} }{\frac{2}{x{^{3}}}}=-\frac{1}{2}\cdot\lim_{x \rightarrow +\infty}\eta \mu \frac{1}{x}=-\frac{1}{2}\cdot 0=0$

Άρα η ευθεία με εξίσωση y=x

είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

στο $+\infty.$

Νομίζω ότι εύκολα καταλαβαίνει κάποιος ότι η ίδια ευθεία είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

στο $-\infty.$

Δ4. Δε σκοπεύω να κουράσω γράφοντας πολλά για αυτό το σκέλος...

Η συνάρτηση $g\left ( x \right )=f\left ( x \right )\cdot \sigma \upsilon \nu x, x\epsilon \left [ -1,1 \right ]$ μπορεί εύκολα να

διαπιστωθεί ότι είναι περιττή. Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι ίσο με

Συναρτήσεις όπως η του θέματος αυτού με συνάρπαζαν όταν ήμουν υποψήφιος της 1ης Δέσμης.

mathematica.gr

Θέματα επαναληπτικών 2023

Θέματα επαναληπτικών 2023

Re: Θέματα επαναληπτικών 2023

Re: Θέματα επαναληπτικών 2023