mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 14, 2023 5:04 pm**

Δείξτε ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι a,b,c,x,y

, ώστε:

29^x-8^y=(2^a+3^b+4^c)^2+(7^a+5^b+2^c)^2

.

Το θέμα τοποθετείται σε αυτό το φάκελο λόγω της υπερβολής που διαθέτει και που το καθιστά διασκεδαστικό.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 14, 2023 6:59 pm**

Το αριστερό μέλος είναι πολλαπλάσιο του

αφού $29 \equiv 8 \equiv 1 \bmod 7$ . Τα τέλεια τετράγωνα modulo

είναι τα

. Οπότε για να είναι και το δεξί μέλος πολλαπλάσιο του

πρέπει να έχουμε

$\displaystyle 2^a + 3^b + 4^c \equiv 7^a + 5^b + 2^c \equiv 0 \bmod 7$

Τότε $2^c \equiv -5^b \bmod 7$ οπότε $1 \equiv 8^c \equiv -125^b \equiv (-1)^{b+1} \bmod 7$ που δίνει ότι ο

είναι περιττός. Επίσης $4^c \equiv 25^b \equiv 4^b \equiv (-3)^b \equiv -3^b \bmod 7$ αφού

περιττός.

Αλλά τότε $2^a + 3^b + 4^c \equiv 2^a \not \equiv 0 \bmod 7$ , άτοπο.

mathematica.gr

Διοφαντική με 5 αγνώστους

Διοφαντική με 5 αγνώστους

Re: Διοφαντική με 5 αγνώστους