mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 17, 2023 8:16 pm**

: A-3.png (6.63 KiB) Προβλήθηκε 1265 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω τρίγωνο ABC

το σημείο

είναι βαρύκεντρο.
Αν AB+CG=AC+BG

, τότε αυτό είναι ισοσκελές.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 19, 2023 2:23 pm**

Aξίζει να δοθεί λύση...

Η δοσμένη ισότητα γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle c+\frac{2}{3}m_{c}=b+\frac{2}{3}m_{b}\Leftrightarrow c-b=\frac{2}{3}\left ( m_{b}-m_{c} \right )$

Είναι γνωστή η ισοδυναμία

$m_{c}< m_{b}\Leftrightarrow c> b.$

Διακρίνω περιπτώσεις:

1. c> b

Τότε ισχύει ότι $m_{c}< m_{b}$ και το αριστερό μέλος της ισότητας

είναι θετικό ενώ το δεξί αρνητικό.

Άρα δεν μπορεί να ισχύει c> b

2.

Τότε ισχύει ότι $m_{c}> m_{b}$ και το αριστερό μέλος της ισότητας

είναι αρνητικό ενώ το δεξί θετικό.

Άρα δεν μπορεί να ισχύει c< b

3.

Τότε όπως ξέρουμε, ισχύει ότι $m_{c}= m_{b}.$

Και τα δύο μέλη της ισότητας είναι μηδέν.

Αυτή είναι η μόνη περίπτωση που η ισότητα ισχύει.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 19, 2023 8:40 pm**

Από δεύτερο θεώρημα της διαμέσου παίρνουμε: $G{B^2} - G{C^2} = 2dBC,\;A{B^2} - A{C^2} = 6dBC \Rightarrow A{B^2} - A{C^2} = 3\left( {G{B^2} - 3G{C^2}} \right).$
Αν οι AC, AB

δεν είναι ίσες, τότε με βάση την υπόθεση προκύπτει $AB + AC = 3GB + 3GC \Rightarrow AB = 2GB - GC \Rightarrow AB = BT - TA\;\,\left( * \right),$
πράγμα άτοπο. Θεωρήθηκε ως

το συμμετρικό του

ως προς το μέσο της AC.

Η σχέση

προέκυψε και από την υπόθεση.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 19, 2023 10:54 pm**

Καλό βράδυ σε όλους!

Ας θεωρήσουμε b>c

. Από τη σχέση πλευρών και διαμέσων προκύπτει CG=l>k=BG

.
Από το δεδομένο έχουμε b-c=l-k>0.. (1)

: 19 9 Κριτήριο ισοσκελούς.png (150.83 KiB) Προβλήθηκε 1064 φορές

Στα τρίγωνα BAC, BGC

το 2ο Θ. διαμέσων δίνει $b^{2}-c^{2}=2a\cdot MH$ και $l^{2}-k^{2}=2a\cdot MF$ .

Με διαίρεση κατά μέλη παίρνουμε λόγω και της (1) : $\dfrac{b+c}{l+k}=3..(2)$ . Βρίσκουμε b=2l+k

και

.

Με αφαίρεση κατά μέλη b-c=l

ενώ

δηλ.

όπερ ΑΤΟΠΟΝ.

Όμοια αποκλείεται b<c

. Συνεπώς

δηλ το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές.

Εκ' των υστέρων βλέπω κοινά στοιχεία της λύσης μ' αυτήν του αγαπητού Σωτήρη!

Φιλικά, Γιώργος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 20, 2023 12:05 am**

H 'μινιμαλιστική' μου λύση (με συντεταγμένες χωρίς χρήση γεωμετρικών θεωρημάτων):

Θέτουμε $A=(0,a), B=(b,0), C=(c,0), G=\left(\dfrac{b+c}{3},\dfrac{a}{3}\right),$ οπότε η AB+CG=AC+BG

οδηγεί στην

$\sqrt{b^2+a^2}+\dfrac{\sqrt{(2c-b)^2+a^2}}{3}=\sqrt{c^2+a^2}+\dfrac{\sqrt{(2b-c)^2+a^2}}{3}.$

Με ύψωση στο τετράγωνο κλπ οδηγούμαστε στην

$b^2-c^2=\dfrac{(b^2-c^2)(4bc-b^2-c^2+2a^2)}{\sqrt{c^2+a^2}\sqrt{(2b-c)^2+a^2}+\sqrt{b^2+a^2}\sqrt{(2c-b)^2+a^2}}.$

Αν $b^2-c^2\neq 0$ τότε $4bc-b^2-c^2+2a^2=\sqrt{c^2+a^2}\sqrt{(2b-c)^2+a^2}+\sqrt{b^2+a^2}\sqrt{(2c-b)^2+a^2},$ άτοπο: πράγματι, λόγω της $b\neq c$ ισχύουν οι $\sqrt{c^2+a^2}\sqrt{(2b-c)^2+a^2}>c(2b-c)+a^2,$ $\sqrt{b^2+a^2}\sqrt{(2c-b)^2+a^2}>b(2c-b)+a^2.$

Συμπεραίνουμε ότι b^2-c^2=0

και, λόγω της $b\neq c$ και πάλι, ότι b+c=0.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 20, 2023 7:52 am**

Δείτε και εδώ

mathematica.gr

Κριτήριο ισοσκελούς τριγώνου.

Κριτήριο ισοσκελούς τριγώνου.

Re: Κριτήριο ισοσκελούς τριγώνου.

Re: Κριτήριο ισοσκελούς τριγώνου.

Re: Κριτήριο ισοσκελούς τριγώνου.

Re: Κριτήριο ισοσκελούς τριγώνου.

Re: Κριτήριο ισοσκελούς τριγώνου.