mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 30, 2023 10:12 am**

: Ο λόγος του λόγου.png (12.83 KiB) Προβλήθηκε 937 φορές

Σε κύκλο

με κέντρο στην αρχή των αξόνων , θεωρούμε σημεία A , B

του πρώτου και τέταρτου

τεταρτημορίου αντίστοιχα , ώστε : $\widehat{AOB}=60^0$ . Ονομάζουμε A' , B'

, τις προβολές των A , B

στον ημιάξονα

. Αν : $\dfrac{AA'}{BB'}=\dfrac{5}{2}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AB'}{BA'}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 01, 2023 2:56 am**

Με χρήση μιγαδικών, αν τα σημεία Α και Β είναι εικόνες των μιγαδικών z_1

και

αντίστοιχα, τότε $z_1=z_2(cos60^{\circ}+isin60^{\circ})$

Άρα αν z_2=x_2+y_2i

τότε $z_1=\left(\dfrac{1}{2}x_2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}y_2\right) + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}x_2+\dfrac{1}{2}y_2\right)i$

οπότε η σχέση $\dfrac{AA'}{BB'}=\dfrac{5}{2}$ δίνει (εκτός από το ότι OA'<OB'

) ότι $\dfrac{Im(z_1)}{Im(z_2)}=\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow \dfrac{x_2}{y_2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

Αν θέσουμε $\lambda=\dfrac{A'B'}{BB'}$ τότε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα παίρνουμε

$\left(\dfrac{AB'}{BA'}\right)^2=\dfrac{AA'^2+A'B'^2}{BB'^2+A'B'^2}=\dfrac{\left(\frac{5}{2}\right)^2+\lambda^2}{1+\lambda^2}$

Όμως $\lambda=\dfrac{Re(z_2)-Re(z_1)}{Im(z_2)}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x_2}{y_2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{7\sqrt{3}}{6}$ .

Αντικαθιστώντας παραπάνω παίρνουμε το τετράγωνο της ζητούμενης ποσότητας.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Οκτ 01, 2023 12:59 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 30, 2023 10:12 am Ο λόγος του λόγου.pngΣε κύκλο με κέντρο στην αρχή των αξόνων , θεωρούμε σημεία του πρώτου και τέταρτου

τεταρτημορίου αντίστοιχα , ώστε : $\widehat{AOB}=60^0$ . Ονομάζουμε , τις προβολές των

στον ημιάξονα . Αν : $\dfrac{AA'}{BB'}=\dfrac{5}{2}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AB'}{BA'}$ .

Φέρνω την

και τέμνει την OB'

στο

. Υποθέτω $AA' = 5\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BB' = 2$ , θέτω δε :

$OA' = a\,\,,\,\,AD = 5m\, \Rightarrow \,DB = 2m\,\,,\,\,A'D = 5k \Rightarrow DB' = 2k$ .

Θ. Stewart

στο $\vartriangle OAB$ κι έχω: $O{D^2} = {R^2} - AD \cdot DB\,\,\left( 1 \right)$ Από το σύστημα : $\left\{ \begin{gathered} AD + DB = R \hfill \\ \dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{5}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AD = \dfrac{{5R}}{7} \hfill \\ DB = \dfrac{{2R}}{7} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ , Έτσι η $\left( 1 \right)$ γίνεται: $O{D^2} = {R^2} - \dfrac{{10{R^2}}}{{49}} = \dfrac{{39}}{{49}}{R^2} = 39{m^2} \Rightarrow \boxed{O{D^2} = 39{m^2}}$ $\left( 2 \right)$

: Ο λόγος του λόγου_κατασκευή ok_λύση ok.png (30.54 KiB) Προβλήθηκε 865 φορές

Από τα ορθογώνια τρίγωνα OBB',OAA'

και Π. Θ. έχω: $a = \dfrac{{3 - 7{k^2}}}{{2k}}$ αλλά προφανές , ${m^2} = 1 + {k^2}\,\,\left( 3 \right)$

Από τις $\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left( 3 \right)$ , έχω : ${\left( {a + 5k} \right)^2} = 39\left( {1 + {k^2}} \right)$ που λόγω της $\left( 1 \right)$ δίδει : $3\left( {1 + {k^2}} \right) = 13 \cdot 4{k^2} \Rightarrow \boxed{k = \dfrac{{\sqrt 3 }}{7}}$ .

Μετά απ’ αυτά εύκολα έχω: $\boxed{R = 2\sqrt {13} \,\,}$ και απλά ότι : $\boxed{\dfrac{{AB'}}{{A'B}} = 2}$ .

mathematica.gr

Ο λόγος του λόγου

Ο λόγος του λόγου

Re: Ο λόγος του λόγου

Re: Ο λόγος του λόγου