mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 30, 2023 7:44 pm**

Να αποδειχτεί ότι, κάθε εφαπτομένη της παραβολής y=x^2+m,m>0

ορίζει στην παραβολή y=x^2

χορδή , η οποία έχει σταθερή προβολή στον άξονα των x.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 30, 2023 11:45 pm**

Καλησπέρα σε όλους,

Έστω (x_0,y_0)

τυχαίο σημείο της παραβολής y=x^2+m

από το οποίο φέρνουμε την εφαπτομένη. Τότε η εξίσωσή της είναι

$y-(x_0^2+m)=2x_0(x-x_0) \Leftrightarrow y=2x_0x-x_0^2+m$ .

Οι τετμημένες x_1,x_2

των σημείων τομής της παραπάνω με την y=x^2

προκύπτουν από τη λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

$x^2= 2x_0x-x_0^2+m \Leftrightarrow x^2-2x_0x+x_0^2-m=0$ (η εξίσωση έχει διακρίνουσα $\Delta=4m>0$ άρα πράγματι έχει 2 λύσεις) για τις οποίες (από τους τύπους Vieta) ισχύει:

S=x_1+x_2=2x_0

και

Προφανώς η προβολή της χορδής αυτής στον άξονα των

είναι ίση με $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{S^2-4P}=2\sqrt{m}$ δηλαδή σταθερή όπως την θέλαμε.

Αλέξανδρος

mathematica.gr

Σταθερή προβολή

Σταθερή προβολή

Re: Σταθερή προβολή