mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 05, 2023 4:09 pm**

Παιδιά, στο Δ2 ερώτημα των Πανελλαδικών έχει κάνει λάθη το τεύχος με τις λύσεις του

. Δίνω μία λύση:

Έχουμε $\displaystyle f\left ( x \right )=ln\left ( 2-x \right )-\frac{1}{x}+3,x\in \left ( 0,2 \right )$ .

Αυτή είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της (ως πράξεις μεταξύ συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με $\displaystyle f{'}\left ( x \right )=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{\left ( x-1 \right )\left ( x+2 \right )}{x^{2}\left ( x-2 \right )},x\in \left ( 0,2 \right ).$

$\bullet$ Στο $\left ( 0,1 \right )$ είναι $\displaystyle f{'}\left ( x \right )> 0,\forall x\in \left ( 0,1 \right )$ και η

συνεχής στο $\left ( 0,1 \right ]$ , άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left ( 0,1 \right ].$
Η

είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\left ( 0,1 \right ]$ , επομένως: $\displaystyle f\left ( \left ( 0,1 \right ] \right )=\left (\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f\left ( x \right ),f\left ( 1 \right ) \right ],$ όπου:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}ln\left ( 2-x \right )-\frac{1}{x}+3=-\infty$ και $f\left ( 1 \right )=2.$
Συνεπώς: $f\left ( \left ( 0,1 \right ] \right )=\left ( -\infty,2 \right ]$ και άρα η

έχει ρίζα $x_{1}\in \left ( 0 ,1\right ]$ και αφού η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left ( 0,1 \right ],$ η ρίζα $x_{1}$ είναι μοναδική. Τέλος, αφού $f\left ( 1 \right )\neq 0,$ έχουμε $x_{1}< 1.$
$\bullet$ Στο $\left ( 1,2 \right )$ είναι $\displaystyle f{'}\left ( x \right )< 0,\forall x\in \left ( 1,2 \right )$ και η

συνεχής στο $\left [ 1,2 \right ),$ άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left [ 1,2 \right ).$
Η

είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $\left [ 1,2 \right )$ , επομένως: $\displaystyle f\left ( \left [ 1,2 \right ) \right )=\left ( \lim_{x\rightarrow 2^{-}} f\left ( x \right ),f\left ( 1 \right )\right ],$ όπου:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2^{-}}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow 2^{-}}ln\left ( 2-x \right )-\frac{1}{x}+3=-\infty$ και $f\left ( 1 \right )=2.$
Συνεπώς: $f\left ( \left [ 1,2 \right ) \right )=\left ( -\infty,2 \right ]$ και άρα η

έχει ρίζα $x_{2}\in \left [ 1,2 \right )$ και αφού η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left [ 1,2 \right ),$ η ρίζα $x_{2}$ είναι μοναδική. Τέλος, αφού $f\left ( 1 \right )\neq 0,$ έπεται ότι $x_{2}> 1.$
Τέλος, η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left ( 0, 1\right ]$ με $\displaystyle f\left ( x_{1} \right )=0< f\left ( \frac{1}{3} \right ),$ συνεπώς $\displaystyle x_{1}< \frac{1}{3}.$

Υ.Γ Δεν κάνω επίπληξη σε κανέναν. Απλά, καλό θα ήταν να διορθωθούν κάποια πράγματα.

mathematica.gr

Τυπογραφικά στο Τεύχος με τις λύσεις των Πανελληνίων

Τυπογραφικά στο Τεύχος με τις λύσεις των Πανελληνίων