mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 11, 2023 1:10 pm**

Οι αριθμοί : a , b , c

, είναι τρεις διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου .

Βρείτε τους , αν δίνεται ότι έχουν άθροισμα

και άθροισμα τετραγώνων

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 11, 2023 5:58 pm**

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 11, 2023 1:10 pm Οι αριθμοί : , είναι τρεις διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου .

Βρείτε τους , αν δίνεται ότι έχουν άθροισμα και άθροισμα τετραγώνων .

Έστω $\displaystyle \frac{b}{x},b,bx,$ οι όροι της προόδου. Τότε:

$\displaystyle 1 + x + {x^2} = \frac{{5x}}{b}$ ΚΑΙ $\displaystyle 1 + {x^2} + {x^4} = \frac{{15{x^2}}}{{{b^2}}}$

Αλλά, $\displaystyle {\left( {1 + x + {x^2}} \right)^2} = 1 + {x^2} + {x^4} + 2x(1 + x + {x^2}) \Rightarrow \frac{{25{x^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{15{x^2}}}{{{b^2}}} + 2x\frac{{5x}}{b},$ απ' όπου $\boxed{b=1}$

Άρα, $\displaystyle {x^2} - 4x + 1 = 0$ κι επειδή η πρόοδος είναι γνησίως αύξουσα θα είναι $\boxed{x=2+\sqrt 3}$

Επομένως, $\boxed{(a,b,c)=(2-\sqrt 3, 1, 2+\sqrt 3)}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Οκτ 12, 2023 8:54 am**

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 11, 2023 1:10 pm Οι αριθμοί : , είναι τρεις διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου .

Βρείτε τους , αν δίνεται ότι έχουν άθροισμα και άθροισμα τετραγώνων .

Αλλιώς, έστω $\displaystyle a,ax,a{x^2}$ οι όροι της προόδου. Τότε:

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} a(1 + x + {x^2}) = 5 \hfill \\ {a^2}(1 + {x^2} + {x^4}) = 15 \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{(:)} a({x^2} - x + 1) = 3 \Rightarrow \frac{5}{{{x^2} + x + 1}} = a = \frac{3}{{{x^2} - x + 1}},$

απ' όπου καταλήγω στην εξίσωση $\displaystyle {x^2} - 4x + 1 = 0$ ΚΑΙ $\displaystyle a = \frac{1}{x}.$ Τα υπόλοιπα όπως και στην (#2).