mathematica.gr

ΠΕΡΙΤΤΟ

Έστω το δεύτερο σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων , των τριγώνων και .
Θα αποδείξουμε ότι . Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Συμβολίζουμε με το σημείο τομής της με τον κύκλο . Σύμφωνα με το θεώρημα Reim
) και . Επομένως, το είναι παραλληλόγραμμο, οπότε οι διαγώνιοί του
διχοτομούνται, δηλαδή, το μέσο του , που σημαίνει ότι , οπότε .


Θεώρημα Reim : Οι κύκλοι , τέμνονται στα σημεία , , και η ευθεία που διέρχεται από το τέμνει τους , στα , αντίστοιχα. Έστω , σημεία των , αντίστοιχα. Τότε, αν και μόνο αν, τα σημεία , , ανήκουν στην ίδια ευθεία .