mathematica.gr

Μεταβλητή ευθεία διερχόμενη από την αρχή των αξόνων , τέμνει τους κύκλους του σχήματος

( και ) στα σημεία . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου , του τμήματος .

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 19, 2023 1:40 pm Τόπος μέσου.pngΜεταβλητή ευθεία διερχόμενη από την αρχή των αξόνων , τέμνει τους κύκλους του σχήματος

( και ) στα σημεία . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου , του τμήματος .

Το κάνω γενικότερα, με τυχαίους τεμνόμενους κύκλους. Θα χρειαστώ την ιδιότητα εδώ.

Στο τρίγωνο οι γωνίες είναι σταθερές αφού βλέπουν σταθερή χορδή. Αφού η είναι διάμεσος, έπεται ότι και η γωνία είναι σταθερή αφού, σύμφωνα με την παραπάνω παραπομπή, ισχύει σταθερό. Άρα το διαγράφει τόξο αφού βλέπει σταθερή χορδή.

Τελικά το τόξο είναι ολόκληρος κύκλος αν επιτρέψουμε το να διατρέξει όλον τον μικρό κύκλο, όχι μόνο το μεγάλο τόξο του . Αλλιώς είναι μέρος του κύκλου που προσδιορίζεται από τις ακραίες θέσεις του , που είναι τα σημεία και .
.

Σύμφωνα με άσκηση από διαγωνισμό , αν τα μέσα των αντίστοιχα , τότε η γωνία

είναι ορθή ( δείξτε το ! ) . Ο ζητούμενος τόπος λοιπόν είναι τόξο κύκλου με διάμετρο .

Αλλιώς. Αυτή την φορά, Γεωμετρικά.

'Εστω τα κέντρα των δύο κύκλων και έστω το μέσον της . Θα δείξουμε ότι ο ζηητούμενος τόπος είναι ο κύκλος με κέντρο και ακτίνα .

Φέρνουμε τις κάθετες από τα στην . Tότε το είναι το μέσον της και το της . Έπεται ότι το είναι το μέσον της . Εύκολα τώρα δείχνουμε ότι το είναι το μέσον και της (για την απόδειξη, πρώτα δείχνουμε ότι ). Άρα το είναι στην μεσοκάθετο του και άρα στεθερό. Αφού και το είναι σταθερό, έπεται ότι το είναι στον κύκλο με κέντρο και ακτίνα , όπως θέλαμε.

(Έχω και δεύτερη γεωμετρική λύση που θα την γράψω κάποια ώρα, εκτός αν με προλάβει άλλος).
.

Αλλιώς: Έστω ότι οι δύο κύκλοι έχουν κέντρα και ακτίνες , αντίστοιχα. Αφού , έχουμε .

Βλέπουμε τα δύο αυτά γινόμενα ως την δύναμη του σημείου ως προς τους κύκλους εξωτερικά και εσωτερικά, αντίστοιχα. Άρα από τον τύπο της δύναμης σημείου έχουμε . Άρα

σταθερό.

Aν το μέσον της τότε από το θεώρημα των διαμέσων η προηγούμενη δίνει

σταθερό. Άρα σταθερό, ας πούμε . Έπεται ότι το βρίσκεται στον κύκλο κέντρου και ακτίνας . O τόπος μας.
.