mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 19, 2023 10:16 am**

: Σημείο τόπου.png (17.57 KiB) Προβλήθηκε 754 φορές

Στις πλευρές AB , AC

, του - πλευράς

- ισοπλεύρου τριγώνου ABC

κινούνται σημεία S , P

αντίστοιχα , έτσι

ώστε αν : BS=4x

, να είναι : CP=5x

. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής

των

.

Προαιρετικά μπορείτε να βρείτε για ποιο σημείο του τόπου , ο λόγος : $\dfrac{TC}{TB}$ , παίρνει τη μέγιστη τιμή του .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 20, 2023 9:37 am**

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 19, 2023 10:16 am Σημείο τόπου.pngΣτις πλευρές , του - πλευράς - ισοπλεύρου τριγώνου κινούνται σημεία αντίστοιχα , έτσι

ώστε αν : , να είναι : . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής των .

Προαιρετικά μπορείτε να βρείτε για ποιο σημείο του τόπου , ο λόγος : $\dfrac{TC}{TB}$ , παίρνει τη μέγιστη τιμή του .

Όταν το

κινείται στην

το

παίρνει δύο ακραίες θέσεις N, L

όπως φαίνεται στο σχήμα, με BL=4, LC=5

και $BN=\dfrac{36}{5}, AN=\dfrac{9}{5}.$ θα δείξω ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το ευθύγραμμο τμήμα NL.

Αρκεί να

δείξω ότι τα σημεία N, T, L

είναι συνευθειακά. Έστω

το σημείο τομής των NC, BP.

: Σημείο τόπου.png (12.57 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές

Από Μενέλαο στο ANC

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {BEP},$ παίρνω $\displaystyle \frac{{EN}}{{CE}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{{9 - 5x}}{{5x}}$

$\displaystyle \frac{{EN}}{{CE}} \cdot \frac{{CL}}{{LB}} \cdot \frac{{BS}}{{SN}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{{9 - 5x}}{{5x}} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{{5x}}{{9 - 5x}} = 1,$ όπου με το αντίστροφο του $\rm Ceva$

αποδεικνύεται η συνευθειακότητα των N, T, L.

mathematica.gr

Σημείο τόπου

Σημείο τόπου

Re: Σημείο τόπου