mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 23, 2024 8:09 pm**

: Περίπλοκη σχέση.png (13.97 KiB) Προβλήθηκε 538 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, η

είναι διάμεσος . Δείξτε ότι η γωνία $\theta$

γίνεται μέγιστη , όταν οι γωνίες $\phi$ και $\omega$ , γίνουν συμπληρωματικές !

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 24, 2024 8:55 am**

KARKAR έγραψε: Τρί Ιαν 23, 2024 8:09 pm Περίπλοκη σχέση.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , η είναι διάμεσος . Δείξτε ότι η γωνία $\theta$

γίνεται μέγιστη , όταν οι γωνίες $\phi$ και $\omega$ , γίνουν συμπληρωματικές !

Μια σκέψη

: Μια σκέψη.png (15.53 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές

Έχω ένα ευθύγραμμο τμήμα AC = 2k

σταθερό και

το μέσο του

. Φέρνω την κάθετη ημιευθεία στο

επί την

.

Πάνω σ αυτή την ημιευθεία κινείται σημείο

.

Η γωνία $\widehat {ABM}$ γίνεται μέγιστη , όταν η ημιευθεία γίνει εφαπτομένη στο περιγεγραμμένο κύκλου του μεταβλητού $\vartriangle BMC$ .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 24, 2024 9:31 am**

KARKAR έγραψε: Τρί Ιαν 23, 2024 8:09 pm Περίπλοκη σχέση.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , η είναι διάμεσος . Δείξτε ότι η γωνία $\theta$

γίνεται μέγιστη , όταν οι γωνίες $\phi$ και $\omega$ , γίνουν συμπληρωματικές !

Τριγωνομετρικά:

$\displaystyle{ \tan \theta = \tan (\omega - \phi) = \dfrac {\tan \omega - \tan \phi}{ 1+\tan \omega \tan \phi } =\dfrac { \dfrac {2c}{b} - \dfrac {c}{b} }{1+\dfrac {2c}{b} \dfrac {c}{b} } = \dfrac {bc}{b^2+2c^2}\ge \dfrac {\sqrt 2}{4} }$ (το τελευταίο ισοδυναμεί με την $(\sqrt 2 c-b) ^2 \ge 0$

Έχουμε ισότητα όταν $b=\sqrt 2c$ . Είναι τότε

$\displaystyle{\tan \omega \tan \phi}= \dfrac {2c}{b} \dfrac {c}{b} = 2\dfrac {1}{\sqrt 2} \dcot \dfrac {1}{\sqrt 2}=1}$ , δηλαδή οι $\tan \omega , \tan \phi}$ είναι αντίστροφες, ισοδύναμα οι $\omega, \, \phi$ είναι συμπληρωματικές.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιαν 24, 2024 10:59 am**

Ένα επιπλέον ερώτημα. Στο σχήμα του Θανάση, αν $\displaystyle \sin \theta = \frac{{\sqrt 2 }}{6},$ να βρείτε τη σχέση των γωνιών $\varphi, \omega.$

mathematica.gr

Περίπλοκη σχέση

Περίπλοκη σχέση

Re: Περίπλοκη σχέση

Re: Περίπλοκη σχέση

Re: Περίπλοκη σχέση