mathematica.gr

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, 3η φάση.
Θέματα της 2ης μέρας για την 9η τάξη. 1 Φεβρουαρίου 2024.

1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι διαφορετικοί αριθμοί, το άθροισμα των οποίων ισούται με . Ο Γιώργος πολλαπλασίασε τον καθένα τους με το άθροισμα των υπόλοιπων έξι και κατέγραψε στο τετράδιο τα γινόμενα που προέκυψαν. Προέκυψε στο τετράδιο να εμφανίζονται μόνο τέσσερεις διαφορετικοί αριθμοί. Βρείτε έναν από τους αριθμούς, που είναι γραμμένοι στον πίνακα. (Ι. Μπογκντάνοβ)

2. Σε κύκλο μήκους μέτρου δίνεται ένα σημείο. Από αυτό προς την ίδια κατεύθυνση ταυτόχρονα ξεκίνησαν να κινούνται δυο σκαθάρια με διαφορετικές σταθερές ταχύτητες. Κάθε φορά, που το γρήγορο σκαθάρι έφτανε το αργό, το αργό αμέσως γυρνούσε στην αντίθετη κατεύθυνση χωρίς να αλλάζει ταχύτητα. Κάθε φορά, που συναντούσαν το ένα το άλλο μετωπικά, το γρήγορο γυρνούσε αμέσως στην αντίθετη κατεύθυνση, χωρίς να αλλάζει ταχύτητα. Σε ποια απόσταση από το δοθέν σημείο μπορεί να συμβεί η εκατοστή τους συνάντηση; (Ι. Μπογκντάνοβ)

3. Στην πλευρά ενός οξυγώνιου τριγώνου δίνονται δυο σημεία και τέτοια, ώστε . Τα σημεία και των πλευρών και αντίστοιχα είναι τέτοια, ώστε και . Να αποδείξετε, ότι το σημείο τομής των διαμέσων του τριγώνου ισαπέχει από τις ευθείες και . (A. Ματβέεβ)

4. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς μήκους διαμερίστηκε με ευθείες, παράλληλες προς τις πλευρές του, σε ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς . Όλες οι κορυφές αυτών των τριγώνων, εκτός του κέντρου του τριγώνου , είναι σημειωμένες. Θα ονομάσουμε ένα σύνολο μερικών εκ των σημειωμένων σημείων γραμμικό, αν όλα αυτά τα σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία, παράλληλη προς πλευρά του . Πόσοι τρόποι υπάρχουν να διαμερίσουμε όλα τα σημειωμένα σημεία σε γραμμικά σύνολα; (Οι τρόποι, που διαφέρουν στην διάταξη των συνόλων, θεωρούνται ίδιοι) (Ι. Μπογκντάνοβ)

5. Υπάρχει άραγε φυσικός αριθμός τέτοιος, ώστε η δεκαδική αναπαράσταση των αριθμών και να διαφέρουν στην αναδιάταξη των ψηφίων τους; (δηλαδή, στην δεκαδική αναπαράσταση των αριθμών και πρέπει να υπάρχουν ο ίδιος αριθμός ψηφίων , ίδιος αριθμός ψηφίων , …, ίδιος αριθμός ψηφίων ) (Α. Τσιρόνοβ)

έγραψε: Κυρ Φεβ 04, 2024 11:48 am
3. Στην πλευρά ενός οξυγώνιου τριγώνου δίνονται δυο σημεία και τέτοια, ώστε . Τα σημεία και των πλευρών και αντίστοιχα είναι τέτοια, ώστε και . Να αποδείξετε, ότι το σημείο τομής των διαμέσων του τριγώνου ισαπέχει από τις ευθείες και . (A. Ματβέεβ)

Έστω το σημείο τομής των διαμέσων και το μέσο της πλευράς . Αν το σημείο είναι μεταξύ των , τότε θα είναι . Ομοίως και αν το είναι μεταξύ των , θα είναι . Άρα τα σημεία , με αυτή την διάταξη, χωρίζουν την πλευρά σε τρία ίσα τμήματα.

Το σημείο είναι και το μέσο του τμήματος και ισχύει . Στον ίδιο λόγο όμως χωρίζει και το σημείο την διάμεσο , . Άρα και . Επειδή , θα είναι και και εφόσον το μέσο του τμήματος η ευθεία είναι μεσοκάθετος του τμήματος . Ομοίως η ευθεία είναι μεσοκάθετος του τμήματος .

Από τα παραπάνω, προκύπτουν οι ισότητες . Επομένως τα τρίγωνα και είναι ίσα. Άρα ίσα θα είναι και τα ομόλογα ύψη που άγονται από την κορυφή προς τις πλευρές . Δηλαδή το σημείο ισαπέχει από τις ευθείες και .