mathematica.gr • Σύστημα με άγνωστους φυσικούς αριθμούς

Σελίδα 1 από 1

Σύστημα με άγνωστους φυσικούς αριθμούς

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 17, 2024 10:35 pm

από orestisgotsis

ΠΕΡΙΤΤΑ

Re: Σύστημα με άγνωστους φυσικούς αριθμούς

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 17, 2024 11:13 pm

από Mihalis_Lambrou

orestisgotsis έγραψε: Σάβ Φεβ 17, 2024 10:35 pm Για $\,x,\,\,y,\,\,z\in \mathbb{N}\,$ , να λυθεί το σύστημα των εξισώσεων και :

$x+y+z=6\,\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\,$ , $\,\,\,\,\,7{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-{{z}^{2}}+8xy+2xz=28\,\,\,\,\,(2)$ .

.
Από την πρώτη είναι z=6-x-y

z=6-x-y

, που την θέτουμε στην δεύτερη. Δίνει μετά τις απλοποιήσεις

4x^2+y^2+4xy+12y=64

4x^2+y^2+4xy+12y=64

, ισοδύναμα (2x+y)^2+12(2x+y)=64

(2x+y)^2+12(2x+y)=64

, οπότε

(2x+y)(2x+y+12)=64= 2^6

.

Συμπεραίνουμε ότι για κάποιον φυσικό

είναι $2x+y = 2^n, \, 2x+y+12= 2^{6-n} \, (*)$ . Αφαιρούμε, οπότε $12 = 2^{6-n}-2^n$ και άρα

$2^2\cdot 3 = 2^n(2^{6-2n} -1)$ , οπότε και $0\le n \le 3$ . Mε δοκιμές στα n=0,1,2,3

n=0,1,2,3

βρίσκουμε

n=2

. Πίσω στην (*)

(*)

δίνει

2x+y= 4

οπότε έχουμε λύσεις τις (x,y)= (0,4)

(x,y)= (0,4)

ή

(1,2)

ή

(2,0)

και άρα τις

(x,y,z)= (0,4,2)

(x,y,z)= (0,4,2)

ή

(1,2,3)

ή

(2,0,4)

. Και οι τρεις ικανοποιούν τις αρχικές, οπότε απαντούν στο ερώτημα.

Re: Σύστημα με άγνωστους φυσικούς αριθμούς

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Φεβ 18, 2024 12:53 am

από orestisgotsis

ΠΕΡΙΤΤΑ