mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 17, 2024 2:03 am**

Να εκφραστεί η συνάρτηση ${\color{red}f}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με ${\color{red}f}(x)=\begin{cases}1 & x=0\\0 & x\ne 0\end{cases}$ με έναν τύπο, ενιαία, τουτέστιν χωρίς κλάδους.

Bonus πρόβλημα: Ας γίνει το ίδιο για την ακόλουθη συνάρτηση $g(x)=\begin{cases} g_1(x) & x < a \\ b & x=a \\ g_2(x) & x > a \end{cases}$ , όπου $a,b\in\mathbb{R}$ και $g_1,g_2\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ .

Σημείωση #1: Το ζητούμενο του προβλήματος προφανώς δεν είναι αυστηρά ορισμένο. Ας θεωρηθεί χονδρικά ότι αποδεκτές απαντήσεις στο ανά χείρας αποτελούν εκείνες που δεν εισάγουν κλάδους λαθραία όπως συμβαίνει στο ακόλουθο παράδειγμα. Η συνάρτηση ${\color{red}f}$ είναι προφανές πως θα μπορούσε να εκφραστεί ως ${\color{red}f}(x)={\color{blue}H}(x)+{\color{blue}H}(-x)-1\ (*)$ όπου ${\color{blue}H}(x)$ είναι η συνάρτηση βήματος Heaviside που ορίζεται ως ${\color{blue}H}(x) \colon=\begin{cases}1 & x\ge0\\0 & x< 0\end{cases}$ . Η έκφραση (*)

για την ${\color{red}f}$ φαινομενικά δεν περιέχει κλάδους. Στην πραγματικότητα υπάρχουν κλάδοι, απλά είναι κρυμμένοι "έναν όροφο παρακάτω", εντός των όρων ${\color{blue}H}(x)$ και ${\color{blue}H}(-x)$ . Συνεπώς, η (*)

δεν θεωρείται αποδεκτή απάντηση.

Σημείωση #2: Το πρόβλημα δεν θεωρείται πως έχει μοναδική απάντηση.

Σημείωση #3: Μια ενδεικτική απάντηση (πιθανότατα όχι την καλύτερη) μπορεί κανείς να δει εδώ. https://youtu.be/J_F-9DY1aJI.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 17, 2024 1:20 pm**

Κάτι τέτοιο μας κάνει;

$1- lim\left | x \right |^{1/n}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 17, 2024 7:30 pm**

rek2 έγραψε: Κυρ Μαρ 17, 2024 1:20 pm Κάτι τέτοιο μας κάνει;

$1- lim\left | x \right |^{1/n}$

Εξαιρετικό παράδειγμα!

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 30, 2024 8:08 pm**

Υπάρχει κάποιο νόημα σε μια τέτοιου είδους αναζήτηση;
Θέλω να πω συνάρτηση είναι και η μία, συνάρτηση είναι και η άλλη.
Δεν μπορεί να ορισθεί μια τέτοιου είδους αναζήτηση(πάντα θα υπάρχει ένα παράδειγμα που θα μας τα χαλάει).
Ο διαχωρισμός αυτός στο δίκλαδη, τρίκλαδη είναι μόνο για "ψυχολογικούς" λόγους πιστεύω.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Απρ 05, 2024 11:37 pm**

stranger έγραψε: Σάβ Μαρ 30, 2024 8:08 pm Υπάρχει κάποιο νόημα σε μια τέτοιου είδους αναζήτηση;
Θέλω να πω συνάρτηση είναι και η μία, συνάρτηση είναι και η άλλη.
Δεν μπορεί να ορισθεί μια τέτοιου είδους αναζήτηση(πάντα θα υπάρχει ένα παράδειγμα που θα μας τα χαλάει).
Ο διαχωρισμός αυτός στο δίκλαδη, τρίκλαδη είναι μόνο για "ψυχολογικούς" λόγους πιστεύω.

Ασκησεολογικά έχει ενδιαφέρον για τη Γ' Λυκείου γιατί δεν είναι κοινότυπη άσκηση.

Παρεπιπτόντως το ερώτημα αν γίνεται να εκφραστεί μια ασυνεχής συνάρτηση με ενιαίο τύπο και όχι δίκλαδα, έχει τεθεί ξανά εντός του mathematica.gr (https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 82#p362338).

Διδακτικά, για να δοθεί ένα προσιτό παράδειγμα μη συνεχούς συνάρτησης, καταφεύγουμε αναγκαστικά σε κλάδους. Αναπόδραστα δημιουργούνται συσχετίσεις όπως “ασυνεχής=κλαδική” και “ενιαίος τύπος ορισμού=συνεχής”. Συνεπώς ένα παράδειγμα ασυνεχούς συνάρτησης που ορίζεται με ενιαίο τύπο ίσως έχει διδακτική αξία.

Το “δίκλαδη” όντως δεν είναι ιδιότητα (predicate) των συναρτήσεων $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ αλλά ιδιότητα των τύπων με τους οποίους μπορεί να οριστεί μια συνάρτηση. Είναι δηλαδή predicate της μεταγλώσσας με "υποκείμενο" τους τύπους της γλώσσας με την οποία εκφράζουμε τη θεωρία των πραγματικών συναρτήσεων. Με απλά λόγια δίκλαδος είναι ο τύπος ορισμού της συνάρτησης και όχι η συνάρτηση.

Στη μαθηματική πρακτική η αναπαράσταση δοθέντος αντικειμένου με τρόπους που ικανοποιούν συγκεκριμένους περιορισμούς είναι και ζητούμενο αλλά και μέσον διευρεύνησης ζητουμένων. Η άσκηση στην αρχή του νήματος θέτει ένα τέτοιο ζητούμενο (αναπαράσταση συνάρτησης με τύπο που έχει περιορισμούς στη σύνταξή του) το οποίο μπορεί να έχει λιγότερο ή περισσότερο νόημα ή ενδιαφέρον από ένα ζητούμενο όπως το “εκφράστε το 99 ως άθροισμα τετραγώνων τεσσάρων φυσικών αριθμών”.

Επίσης το μοτίβο να έχουμε ως ζητούμενο προς απόδειξη την αδυναμία αναπαράστασης ενός αντικειμένου με κάποιον συγκεκριμένο τρόπο, απαντάται σε σημαντικά μαθηματικά θεωρήματα όπως (σε ελεύθερη απόδοση):

#1. Abel-Ruffini: Δεν μπορούμε, χρησιμοποιώντας μόνο τις πράξεις $+,\cdot,-,\colon,\{\sqrt[q]{\text{ }}\}_{q\in\mathbb{N}-\{0,1\}}$ , πεπερασμένου πλήθους φορές, να εκφράσουμε τις συναρτήσεις που δίνουν τις ρίζες ενός πολυωνύμου βαθμού $n\ge5$ με ανεξάρτητες μεταβλητές τους συντελεστές του.

#2. Liouville: Δεν μπορούμε να εκφράσουμε το ολοκλήρωμα $\int e^{-x^2}dx$ χρησιμοποιώντας μόνο στοιχειώδεις συναρτήσεις
(https://math.stackexchange.com/question ... m-integral).

Στα #1,#2 ενώ τα ζητούμενα μπορούν να εξηγηθούν με απλά λόγια (γι’ αυτό άλλωστε αναφέρονται σε σχολικά βιβλία, το #1 στο ιστορικό σημείωμα που ακολουθεί την παράγραφο 4.4 του εγχειριδίου της Άλγεβρας Β’ Λυκείου, και το #2 στο εγχειρίδιο της Ανάλυσης Α’ Δέσμης στην εισαγωγή της ενότητας "ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ" λίγες γραμμές πρίν την έναρξη της παραγράφου "7.8 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες"), η αυστηρή διατύπωσή τους είναι αρκετά τεχνική. Το ζήτημα της επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων είναι παλιό, αλλά ο αυστηρός-ακριβής ορισμός “πολυώνυμο επιλύσιμο με ριζικά” είναι πιο πρόσφατος και είναι μάλλον ερευνητικός καρπός παρά ερευνητικό input. Με άλλα λόγια μέρος της μαθηματικής (και όχι μόνο) έρευνας δεν είναι μόνο η αναζήτηση απαντήσεων αλλά και η ακριβής διατύπωση των ερωτήσεων που μπορεί να υπάρχουν ως γενικές ιδέες-κατευθύνσεις στη σκέψη μας.

Οπότε το γεγονός ότι δεν είναι προφανές το πως θα μπορούσε να οριστεί η αναζήτηση στην άσκηση του νήματος δεν σημαίνει πως είναι άνευ νοήματος η επιδίωξή της ή ότι είναι ερευνητικά στείρα. Ας μην αποκλείσουμε το ενδεχόμενο να υπάρχει τρόπος διατύπωσης της που να είναι και αυστηρά ορισμένος αλλά και να έχει μαθηματικό ενδιαφέρον.

mathematica.gr

Εκφράζοντας μια δίκλαδη (και όχι μόνο) συνάρτηση χωρίς κλάδους

Εκφράζοντας μια δίκλαδη (και όχι μόνο) συνάρτηση χωρίς κλάδους

Re: Εκφράζοντας μια δίκλαδη (και όχι μόνο) συνάρτηση χωρίς κλάδους

Re: Εκφράζοντας μια δίκλαδη (και όχι μόνο) συνάρτηση χωρίς κλάδους

Re: Εκφράζοντας μια δίκλαδη (και όχι μόνο) συνάρτηση χωρίς κλάδους

Re: Εκφράζοντας μια δίκλαδη (και όχι μόνο) συνάρτηση χωρίς κλάδους