Απλοποίηση κυβικής ρίζας σε άθροισμα ρητών
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 23, 2024 7:38 am
Να βρεθούν 
τέτοιοι ώστε
![\displaystyle{\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1} = \sqrt[3]{p} + \sqrt[3]{q} + \sqrt[3]{r}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/895e10cb5ed32c104d0424392205a8ef.png "\displaystyle{\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1} = \sqrt[3]{p} + \sqrt[3]{q} + \sqrt[3]{r}}")
τέτοιοι ώστε ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ
![\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}+\sqrt[3]{-\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/71fd9e5496caf8c832ef5eb6e9fac9f7.png "\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}+\sqrt[3]{-\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}")
ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ
Θέτουμε
![\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/dc99120ffd55756fa4fbc07434278ac1.png "\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}")
Ένας λόγος για να σκεφτεί κανείς κάτι τέτοιο είναι το γεγονός ότι υψώνοντας την
κατά μέλη εις τον κύβο, οι παραστάσεις που προκύπτουν συνεχίζουν να έχουν τη μορφή
![A+B\sqrt[3]{2}+C\sqrt[3]{4}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/74a218d16b5e566c5b871b357b629c4e.png "A+B\sqrt[3]{2}+C\sqrt[3]{4}")
, όπως έχει η υπόρριζη και το δεξί μέλος στην
, οπότε ελπίζουμε φέρνοντας τα πάντα στο πρώτο μέλος, το οποίο θα είναι επίσης της ιδίας προαναφερθείσας μορφής, να έχει λύση το
μη γραμμικό σύστημα που θα προκύψει ζητώντας οι συντελεστές των
![1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/50c020f8189d2f0cb98aca1df863b359.png "1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4}")
να μηδενίζονται...
Τωόντι το σύστημα έχει μια "προφανή" λύση
![a=-b=c=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9fd344cc0cdc9ee1ffca384b61147f2e.png "a=-b=c=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}")
από την οποία εν τέλει καταλήγουμε στο ζητούμενο.
![\displaystyle{\sqrt[3]{(m-n)^3+9m^2n-3(m^2+mn+n^2)\sqrt[3]{mn(m+n)}} = \sqrt[3]{m^2(m+n)}-\sqrt[3]{mn^2}-\sqrt[3]{(m+n)^2n}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a166f4ca7af2f6c7b8fe58f68b3b87da.png "\displaystyle{\sqrt[3]{(m-n)^3+9m^2n-3(m^2+mn+n^2)\sqrt[3]{mn(m+n)}} = \sqrt[3]{m^2(m+n)}-\sqrt[3]{mn^2}-\sqrt[3]{(m+n)^2n}}")
προπύπτει η ζητούμενη.
, 
και 
, έχουμε:![\displaystyle{\begin{aligned}
\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} & = \sqrt[3]{\frac{1}{1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2}}} = \sqrt[3]{\frac{3}{3 \left( 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2} \right)}} \\
& = \sqrt[3]{\frac{3}{1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2} + 2}} = \sqrt[3]{\frac{3}{\left( 1 + \sqrt[3]{2} \right)^3}} \\
& = \frac{\sqrt[3]{3}}{1 + \sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{1}{\left( \sqrt[3]{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{\frac{2}{3}} \right)^3}} \\
& = \frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{\frac{2}{3}}} \\
& = \left( \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \right)^2 - \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{\frac{2}{3}} + \left( \sqrt[3]{\frac{2}{3}} \right)^2 \\
& = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}
\end{aligned}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/32630f249e33f37f238a5b1c916e380c.png "\displaystyle{\begin{aligned}
\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} & = \sqrt[3]{\frac{1}{1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2}}} = \sqrt[3]{\frac{3}{3 \left( 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2} \right)}} \\
& = \sqrt[3]{\frac{3}{1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2} + 2}} = \sqrt[3]{\frac{3}{\left( 1 + \sqrt[3]{2} \right)^3}} \\
& = \frac{\sqrt[3]{3}}{1 + \sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\frac{1}{\left( \sqrt[3]{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{\frac{2}{3}} \right)^3}} \\
& = \frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}{\sqrt[3]{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{\frac{2}{3}}} \\
& = \left( \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \right)^2 - \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{\frac{2}{3}} + \left( \sqrt[3]{\frac{2}{3}} \right)^2 \\
& = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}
\end{aligned}}")