mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 25, 2024 8:41 am**

: Λόγος πλευρών ισοσκελούς.png (16.86 KiB) Προβλήθηκε 724 φορές

$\displaystyle (I,r)$ είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος ισοσκελούς τριγώνου ABC (AC=BC)

και

ο κύκλος

που εφάπτεται στις AC, BC

και εξωτερικά στον κύκλο (I).

Nα υπολογίσετε συναρτήσει του

τον λόγο $\dfrac{AB}{AC}.$ Για ποια

τιμή του

το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 31, 2024 1:17 pm**

Θέτοντας

και προβάλλοντας το

επί της

στο

λαμβάνουμε από KIL

και Πυθαγόρειο Θεώρημα $OD=KL=2\sqrt{k}r,$ οπότε $L=(2\sqrt{k}r,0).$ Εύκολα προκύπτει η εξίσωση της

, $y=-\dfrac{1-k}{2\sqrt{k}}x+r,$ και η τομή της με την y=0,

$C=\left(\dfrac{2\sqrt{k}}{1-k}r,0\right).$

Θα βρούμε τώρα τις συντεταγμένες του μέσου

της

χωρίς να γνωρίζουμε (ακόμη) τις συντεταγμένες των A, B.

Κείμενο επί της IL,

το

είναι της μορφής $M=\left(x,-\dfrac{1-k}{2\sqrt{k}}x+r \right).$ Το

προσδιορίζεται από την $|IM|=r \leftrightarrow x^2=\dfrac{4kr^2}{(1+k)^2}.$ Επειδή το

κείται αριστερά της

ισχύει η $x\leq 0,$ οπότε επιλέγουμε την αρνητική ρίζα για να λάβουμε $x=-\dfrac{2\sqrt{k}}{1+k}r$ και $M=\left(-\dfrac{2\sqrt{k}}{1+k}r, \dfrac{2}{1+k}r\right).$

Εύκολα προκύπτει τώρα η εξίσωση της βάσης του ισοσκελούς, $y=\dfrac{2\sqrt{k}}{1-k}x+\dfrac{4k}{1-k^2}r,$ και η $B=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{k}}r,0\right).$ Και βέβαια, από τις συντεταγμένες των

και

προκύπτει άμεσα και η $A=\left(\dfrac{1-3k}{\sqrt{k}(1+k)}r,\dfrac{4}{1+k}r\right).$

Bεβαίως το ισοσκελές ABC

είναι ισόπλευρο αν και μόνον αν το

κείται επί της IO,

όταν δηλαδή $k=\dfrac{1}{3}.$ Εύκολα υπολογίζονται και τα μήκη $BC=\dfrac{1+k}{\sqrt{k}(1-k)}r$ και $AB=\dfrac{2}{\sqrt{k}}r,$ και επαληθεύεται η $AB=BC\leftrightarrow k=\dfrac{1}{3}$ .

: δίκυκλο-ισοσκελούς.png (68.77 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 31, 2024 4:03 pm**

Να ευχαριστήσω το Γιώργο Μπαλόγλου για τη λύση του και να δώσω μία Ευκλείδεια αντιμετώπιση.

: Λόγος πλευρών ισοσκελούς.β.png (19.85 KiB) Προβλήθηκε 614 φορές

Από την ομοιότατα των τριγώνων IKL, MBC

είναι $\displaystyle \frac{{IK}}{{MB}} = \frac{{IL}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{2r(1 - k)}}{c} = \frac{{r(1 + k)}}{a} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{c}{a} = \frac{{2(1 - k)}}{{1 + k}}}$

Για το ισόπλευρο είναι a=c,

οπότε $\boxed{k=\frac{1}{3}}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 31, 2024 10:02 pm**

Ωραίο θέμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί -- εγγράφοντας απειρία κύκλων από το

μέχρι το

-- και για τον υπολογισμό του αθροίσματος γεωμετρικής σειράς, καθότι $CM=\dfrac{2}{1-k}r.$

mathematica.gr

Λόγος πλευρών ισοσκελούς

Λόγος πλευρών ισοσκελούς

Re: Λόγος πλευρών ισοσκελούς

Re: Λόγος πλευρών ισοσκελούς

Re: Λόγος πλευρών ισοσκελούς