mathematica.gr

Καλησπέρα!

Θα ήθελα να μου απαντήσει κάποιος ή να μας δώσει κάποιες ενδείξεις που συναντούμε σε κείμενα για πρώτη φορά τον τίτλο αυτό ή υπό την μορφή, ὑποτείνω.

Ευχαριστώ!

kostas.zig έγραψε: Δευ Απρ 01, 2024 3:51 pm Καλησπέρα!

Θα ήθελα να μου απαντήσει κάποιος ή να μας δώσει κάποιες ενδείξεις που συναντούμε σε κείμενα για πρώτη φορά τον τίτλο αυτό ή υπό την μορφή, ὑποτείνω.

Ευχαριστώ!

Κώστα το ρήμα ήδη σε Σοφοκλή ("μεγάλας οδύνας υποτείνει" = "φέρνει μεγάλες λύπες", Αίας 262), Θουκυδίδη {"υποτείνοντος αυτού Τισσαφέρνην" = "να του φέρει [ως φίλο] τον Τισσαφέρνη", 8.48), Ηρόδοτο, η υποτείνουσα ("στηρίζουσα") με την σύγχρονη γεωμετρική έννοια ήδη στον Πλάτωνα (Τίμαιος 54δ)* και στον Αριστοτέλη ("ὅταν δὲ προβαίνῃ, γίνεται ἡ ὑποτείνουσα καὶ δυναμένη τὸ μένον μέγεθος καὶ τὴν μεταξύ" = "όταν το ζώο βαδίζει το πόδι που προηγείται γίνεται υποτείνουσα με τετράγωνο ίσο προς αυτό του σταθερού ποδιού συν αυτό της μεταξύ τους απόστασης", Περί Ζώων Πορείας 709α).

*του Πλάτωνα δεν το παραθέτω, ειδικά επειδή χρησιμοποιεί αλλού την "διάμετρο" αντί του "υποτείνουσα"

rek2 έγραψε: Δευ Απρ 01, 2024 11:44 pm https://www.facebook.com/share/p/16tKwmp1GSfwXtRi/

"πλευρά υποτεινουσα την γωνίαν" ήταν η γενικότερη έκφραση, και από το "υποτεινουσα την ορθήν" του Ευκλείδη μας έμεινε τελικά ορφανή η υποτεινουσα

gbaloglou έγραψε: Τρί Απρ 02, 2024 12:45 am

rek2 έγραψε: Δευ Απρ 01, 2024 11:44 pm https://www.facebook.com/share/p/16tKwmp1GSfwXtRi/

"πλευρά υποτεινουσα την γωνίαν" ήταν η γενικότερη έκφραση, και από το "υποτεινουσα την ορθήν" του Ευκλείδη μας έμεινε τελικά ορφανή η υποτεινουσα

Το δε ρήμα "υποτείνω" εμφανίζεται στο Λεξικόν της Ελληνικής Γλώσσης του Σκαρλάτου Βυζλαντιου (1852) ως "τεντώνω τι", "εκτείνομαι υποκάτωθεν τινος", με την "υποτείνουσα" να εμφανίζεται ακριβώς όπως στον Ευκλείδη αλλά και ως "αντικρύζουσα (εις αυτήν)". Στην Εγκυκλοπαίδεια του Ηλίου, έναν περίπου αιώνα αργότερα, υπάρχει μόνον η υποτείνουσα.

Σε ελεύθερη απόδοση λοιπόν θα μπορούσαμε να πούμε ότι η απέναντι κάποιας γωνίας κείμενη πλευρά ... 'ανοίγει' ή 'τεντώνει' την γωνία. (Αγγλιστί, it subtends the angle.)

gbaloglou έγραψε: Δευ Απρ 01, 2024 5:46 pm
*του Πλάτωνα δεν το παραθέτω, ειδικά επειδή χρησιμοποιεί αλλού την "διάμετρο" αντί του "υποτείνουσα"

... και μάλιστα αυτό συμβαίνει 10 λέξεις πιο πέρα (Τίμαιος 54δ-ε):

ἄρξει δὴ τό τε πρῶτον εἶδος καὶ σμικρότατον συνιστάμενον, στοιχεῖον δ’ αὐτοῦ τὸ τὴν ὑποτείνουσαν τῆς ἐλάττονος πλευρᾶς διπλασίαν ἔχον μήκει· σύνδυο δὲ τοιούτων κατὰ διάμετρον συντιθεμένων καὶ τρὶς τούτου γενομένου, τὰς διαμέτρους καὶ τὰς βραχείας πλευρὰς εἰς ταὐτὸν ὡς κέντρον ἐρεισάντων, ἓν ἰσόπλευρον τρίγωνον ἐξ ἓξ τὸν ἀριθμὸν ὄντων γέγονεν.

Εδώ ο Πλάτων θέλει να κατασκευάσει το "πρώτον και σμικρότατον" Πλατωνικό στερεό, το κανονικό τετράεδρο, χρησιμοποιώντας 4 ισόπλευρα τρίγωνα. Κατασκευάζει λοιπόν πρώτα το ισόπλευρο τρίγωνο, ενώνοντας αρχικά δύο ορθογώνια τρίγωνα 90-60-30, αρχίζοντας δηλαδή από το 'στοιχειώδες' [ορθογώνιο] τρίγωνο του οποίου "η υποτείνουσα είναι διπλάσια της μικρότερης πλευράς", τα ενώνει κατά την διάμετρο [υποτείνουσα] τους, και κάνοντας το αυτό 3 φορές καταλήγει σε ισόπλευρο τρίγωνο στο κέντρο του οποίου συναντώνται οι διάμετροι [υποτείνουσες] και βραχείες πλευρές 6 τριγώνων! Όπως αναρωτιέται και ο συγγραφέας της μετάφρασης του "Τίμαιου" που χρησιμοποιώ (Βασίλης Κάλφας, Εστία 2016) στο σχόλιο 332, προκαλεί εντύπωση η ένωση 6 ορθογωνίων τριγώνων 90-60-30 για τον σχηματισμό ισοπλεύρου τριγώνου, την στιγμή που 2 τέτοια αρκούν! (Πιθανώς ο Πλάτων προτιμάει τα 6 τρίγωνα από τα 2 ... επειδή υπάρχει περισσότερη συμμετρία στην πρώτη κατασκευή (λέω).)

[Δεν αποκλείεται το σχόλιο 119 ("Τίμαιος" 36γ) του κ. Κάλφα να 'εξηγεί' και την χρήση του όρου "διάμετρος" αντί του "υποτείνουσα" από τον Πλάτωνα: "Ο Πλάτων έχει μπροστά του την εικόνα ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, το οποίο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με χαραγμένες τις διαγωνίους [διαμέτρους] του ......"]

Γιώργο, Κώστα, σας ευχαριστώ πολύ για όλες τις αναφορές σας και φυσικά Γιώργο εσένα για το πλούσιο υλικό που μου-μας είπες.

Βιβλίο 1, πρόταση 6.

Κώστα σ' ευχαριστούμε για τις Ευκλείδειες παραπομπές (#8 & #9). Είχα ήδη υπαινιχθεί (#4) ότι η χρήση της "υποτείνουσας" είναι γενικότερη, χωρίς να δώσω παραδείγματα (κακώς ίσως). Το κύριο ερώτημα είναι γιατί ο Ευκλείδης αισθάνεται την ανάγκη να γράφει "[πλευρά] υποτείνουσα την ορθήν [γωνίαν]" την στιγμή που ήδη ο Πλάτων αισθάνεται άνετα απλώς με το "υποτείνουσα" (που χρησιμοποιεί, αν και μία και μόνη φορά, όπως ακριβώς εμείς σήμερα).

[Σχετικά με την χρήση του "υποτείνω", ας συγκριθούν οι προτάσεις 18 και 19 στο πρώτο βιβλίο του Ευκλείδη: "Παντὸς τριγώνου ἡ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει." (18) και "Παντὸς τριγώνου ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει." (19)]

gbaloglou έγραψε: Τρί Απρ 02, 2024 1:43 pm

gbaloglou έγραψε: Δευ Απρ 01, 2024 5:46 pm
*του Πλάτωνα δεν το παραθέτω, ειδικά επειδή χρησιμοποιεί αλλού την "διάμετρο" αντί του "υποτείνουσα"

... και μάλιστα αυτό συμβαίνει 10 λέξεις πιο πέρα (Τίμαιος 54δ-ε):

ἄρξει δὴ τό τε πρῶτον εἶδος καὶ σμικρότατον συνιστάμενον, στοιχεῖον δ’ αὐτοῦ τὸ τὴν ὑποτείνουσαν τῆς ἐλάττονος πλευρᾶς διπλασίαν ἔχον μήκει· σύνδυο δὲ τοιούτων κατὰ διάμετρον συντιθεμένων καὶ τρὶς τούτου γενομένου, τὰς διαμέτρους καὶ τὰς βραχείας πλευρὰς εἰς ταὐτὸν ὡς κέντρον ἐρεισάντων, ἓν ἰσόπλευρον τρίγωνον ἐξ ἓξ τὸν ἀριθμὸν ὄντων γέγονεν.

Εδώ ο Πλάτων θέλει να κατασκευάσει το "πρώτον και σμικρότατον" Πλατωνικό στερεό, το κανονικό τετράεδρο, χρησιμοποιώντας 4 ισόπλευρα τρίγωνα. Κατασκευάζει λοιπόν πρώτα το ισόπλευρο τρίγωνο, ενώνοντας αρχικά δύο ορθογώνια τρίγωνα 90-60-30, αρχίζοντας δηλαδή από το 'στοιχειώδες' [ορθογώνιο] τρίγωνο του οποίου "η υποτείνουσα είναι διπλάσια της μικρότερης πλευράς", τα ενώνει κατά την διάμετρο [υποτείνουσα] τους, και κάνοντας το αυτό 3 φορές καταλήγει σε ισόπλευρο τρίγωνο στο κέντρο του οποίου συναντώνται οι διάμετροι [υποτείνουσες] και βραχείες πλευρές 6 τριγώνων! Όπως αναρωτιέται και ο συγγραφέας της μετάφρασης του "Τίμαιου" που χρησιμοποιώ (Βασίλης Κάλφας, Εστία 2016) στο σχόλιο 332, προκαλεί εντύπωση η ένωση 6 ορθογωνίων τριγώνων 90-60-30 για τον σχηματισμό ισοπλεύρου τριγώνου, την στιγμή που 2 τέτοια αρκούν! (Πιθανώς ο Πλάτων προτιμάει τα 6 τρίγωνα από τα 2 ... επειδή υπάρχει περισσότερη συμμετρία στην πρώτη κατασκευή (λέω).)

[Δεν αποκλείεται το σχόλιο 119 ("Τίμαιος" 36γ) του κ. Κάλφα να 'εξηγεί' και την χρήση του όρου "διάμετρος" αντί του "υποτείνουσα" από τον Πλάτωνα: "Ο Πλάτων έχει μπροστά του την εικόνα ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, το οποίο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με χαραγμένες τις διαγωνίους [διαμέτρους] του ......"]

Γιώργο καλησπέρα!

Τον Πλάτωνα θα τον κατανοήσουμε μόνο αν τον δούμε, ως Μύστη που ήταν (μια άποψη). ( Τέτοιον τον θεωρεί π.χ. στο μνημειώδες έργο του "οι μεγάλοι Μύστες" ο Εδουάρδος Σίρε, αλλά και άλλοι φιλόσοφοι ή/και αλχημιστές). (Ονόματα δεν λέμε, γιατί πολλοί θα ξενιστούν).

Στο κανονικό τετράεδρο αντιστοιχεί την στοιχειακή δύναμη της φωτιάς, το πυρ (όπως και οι Πυθαγόρειοι). Η κατασκευή με δύο τρίγωνα δεν δίνει την συνοχή στους αρμούς των στερεών που οι έδρες τους είναι ισόπλευρα τρίγωνα, ούτε, ειδικότερα, την ευελιξία, δύναμη, σταθερότητα, εκρηκτικότητα κ.λπ. που χαρακτηρίζει το πυρ, το κανονικό τετράεδρο (ως στοιχειακή δύναμη).

rek2 έγραψε: Τετ Απρ 03, 2024 11:53 pm Screenshot_20240403-234116_Chrome.jpg

Πρότασις δ: Το καλύτερο παράδειγμα Αττικής σύνταξης για μαθηματικούς!!

rek2 έγραψε: Πέμ Απρ 04, 2024 6:43 pm
στο μνημειώδες έργο του "οι μεγάλοι Μύστες" ο Εδουάρδος Σίρε,

Λίγα λόγια τον Édouard Schuré εδώ (στα Αγγλικά)

ή το ίδιο

Εδουάρδος Συρέ εδώ (στα Ελληνικά)

Δια ταύτα και δια ταύτα ... φορτώσαμε την ανθρωπότητα με μία λέξη που εμείς οι ίδιοι δεν καταλαβαίνουμε ... απότοκο ενός ρήματος που χάσαμε στον δρόμο -- πως σου ΄ρθε, βρε Πλάτων;!

[Αλλά δεν φταίει αυτός, ο τρόπος που την χρησιμοποιεί δείχνει ότι ήταν ήδη ευρέως γνωστή...]