mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 09, 2024 12:37 pm**

: Όλοι ακέραιοι.png (15.29 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές

Τα μήκη όλων των τμημάτων που φαίνονται στο ισόπλευρο τρίγωνο ABC

, είναι ακέραια . Βρείτε τα !

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 09, 2024 4:34 pm**

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 09, 2024 8:27 pm**

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 09, 2024 12:37 pm Όλοι ακέραιοι.pngΤα μήκη όλων των τμημάτων που φαίνονται στο ισόπλευρο τρίγωνο , είναι ακέραια . Βρείτε τα !

Πρώτα-πρώτα πρέπει το ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου να είναι μικρότερο ή ίσο του

. Δηλαδή , $a - 2 > \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow a = \left\{ {15,16,...} \right\}$ .

Από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle SBC$ έχω : $\displaystyle {\left( {a - 2} \right)^2} = {a^2} + {x^2} - ax \Leftrightarrow {x^2} - ax + 4\left( {a - 1} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Πρέπει , $D = {a^2} - 4 \cdot 4\left( {a - 1} \right) = {\left( {a - 8} \right)^2} - 48$ να είναι τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου. $\boxed{D = a\left( {a - 16} \right) + 16}$ . Πρέπει η ποσότητα

: Όλοι ακέραιοι_Ανάλυση.png (12.16 KiB) Προβλήθηκε 694 φορές

$a\left( {a - 16} \right)$ μαζί με το

να δίδει τέλειο τετράγωνο ( χωρίς αυτό να αρκεί για λύση )

Για a = 15

έχω :

και η $\left( 1 \right)$ δίδει , $x = \dfrac{{15 \pm 1}}{2} \Rightarrow x = 8$ , είτε x = 7

δεκτές τιμές .

Για a = 16

:

και $x = \dfrac{{16 \pm 4}}{2} \Rightarrow x = 10$ είτε x = 6

δεκτές τιμές

Για a = 21

:

και $x = \dfrac{{21 \pm 11}}{2} \Rightarrow x = 16$ . είτε x = 5

δεκτές τιμές .

Μια σκέψη για τιμές του a > 21

( με κάποια επιφύλαξη).

Τότε η μικρότερη ρίζα της $\left( 1 \right)$ θα μειώνεται δηλαδή θα είναι μικρότερη του

.

Αλλά θα ισχύει : $4 < \dfrac{{a - \sqrt {{a^2} - 16a + 16} }}{2} \Leftrightarrow 8 < a - \sqrt {{a^2} - 16a + 16}$ ή $\sqrt {{a^2} - 16a + 16} < a - 8$ . Τα δύο μέλη είναι θετικά κι έτσι :

${a^2} - 16a + 16 < {a^2} - 16a + 64 \Leftrightarrow 16 < 64$ , αληθής . Άρα η μικρότερη ρίζα της $\left( 1 \right)$ έστω

θα είναι , 4 < r < 5

δηλαδή ουδέποτε ακεραία.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 10, 2024 9:16 am**

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 09, 2024 12:37 pm Όλοι ακέραιοι.pngΤα μήκη όλων των τμημάτων που φαίνονται στο ισόπλευρο τρίγωνο , είναι ακέραια . Βρείτε τα !

$\displaystyle B{C^2} = A{S^2} + SC \cdot SA \Leftrightarrow {a^2} = {(a - 2)^2} + x(a - x) \Leftrightarrow a = \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 4}} \Leftrightarrow$

$\boxed{a = x + 4 + \frac{{12}}{{x - 4}}}$ και αφού μιλάμε για ακέραια τμήματα θα πρέπει το x-4