Gr.K-D έγραψε: Πέμ Μάιος 23, 2024 9:34 pm
αν g(x)=(4h(x)-1)/(h^2(x)+3) τότε λύνοντας ως προς 4h(χ) προκύπτει
4h(x)=g(x)(h^2(x)+3)+1.αν ''λιμάρουμε'' προκύπτει
άρα αφού
τότε
άρα μοναδική λύση είναι η
Για να "λιμάρουμε" κατά μέλη δεδομένη ισότητα συναρτήσεων που ορίζονται
κοντά στο σημείο "λιμαρίσματος" και να εφαρμόσουμε τις ιδιότητες των ορίων συνακολούθως
πρέπει να γνωρίζουμε ότι το όριο ενός από τα δυο μέλη της ισότητας υπάρχει (το άλλο θα έπεται)!
Στην περίπτωσή μας, δεν το γνωρίζουμε για κανένα από τα δυο μέλη,
γιατί
το όριο 
δεν είναι δεδομένο ότι υπάρχει
(γι' αυτό στην εκφώνηση χρησιμοποιείται η λέξη "
μελετηθεί")
Βέβαια κατά τη λογιστική διαχείριση μιας άσκησης δεν βλάπτει κανείς να
δοκιμάζει να λάβει όρια κατά μέλη όπως κάνεις στη λύση σου.
Αλλά όταν κάνουμε κάτι τέτοιο είναι σαν να παίρνουμε δάνειο!
Χρησιμοποιούμε τα δεδομένα μας για να κερδίσουμε πληροφορίες π.χ. μια πιθανή τιμή ορίου,
αλλά, δεσμευόμαστε ότι θα επιστρέψουμε μελλοντικά και θα διευθετήσουμε την
"υποχρέωση" απόδειξης της ύπαρξης ενός από τα όρια.
Κοντολογίς, αυτό που έχεις αποδείξει έιναι το εξής:
"
αν το όριο της 
στο 
υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός τότε είναι ίσο με 
"
Οπότε, έχεις υπολογίσει το όριο
conditionally...
αν δηλαδή υπάρχει και είναι πραγματικός (τα
παίζουν?)
Χρωστάς να αποδείξεις την ύπαρξη του
Και όταν αυτό γίνει θα έχει λυθεί η άσκηση!
για την οποία γνωρίζουμε ότι 
![\displaystyle \begin{array}{l}
t(x) = \frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 3}} \Rightarrow t(x) \in \left[ { - \frac{4}{3},1} \right]\\
g(x) = \frac{{4h(x) - 1}}{{{h^2}(x) + 3}} \Leftrightarrow g(x){h^2}(x) - 4h(x) + 3g(x) + 1 = 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} g(x) = 1 \Rightarrow g(x) \ne 0\\
g(x) \in \left[ { - \frac{4}{3},1} \right] \Rightarrow 3{g^2}(x) + g(x) - 4 \le 0 \Rightarrow \Delta = - 4[3{g^2}(x) + g(x) - 4] \ge 0\\
h(x) = \frac{{4 \pm \sqrt { - 4[3{g^2}(x) + g(x) - 4]} }}{{2g(x)}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \frac{{4 \pm \sqrt { - 4[3{u^2} + u - 4]} }}{{2u}} = 2
\end{array}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/27c1d871dedcd3c7f6bb8f1894eb4ee0.png "\displaystyle \begin{array}{l}
t(x) = \frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 3}} \Rightarrow t(x) \in \left[ { - \frac{4}{3},1} \right]\\
g(x) = \frac{{4h(x) - 1}}{{{h^2}(x) + 3}} \Leftrightarrow g(x){h^2}(x) - 4h(x) + 3g(x) + 1 = 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} g(x) = 1 \Rightarrow g(x) \ne 0\\
g(x) \in \left[ { - \frac{4}{3},1} \right] \Rightarrow 3{g^2}(x) + g(x) - 4 \le 0 \Rightarrow \Delta = - 4[3{g^2}(x) + g(x) - 4] \ge 0\\
h(x) = \frac{{4 \pm \sqrt { - 4[3{g^2}(x) + g(x) - 4]} }}{{2g(x)}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \frac{{4 \pm \sqrt { - 4[3{u^2} + u - 4]} }}{{2u}} = 2
\end{array}")
. Προκύπτει από τα δεδομένα ότι το όριο της 
,
, οπότε εξ υποθέσεως 
. Έπεται ότι σε κάποια περιοχή του 
, η 
δεν μηδενίζεται. Για 
σε αυτήν την περιοχή βλέπουμε την 
ως δευτεροβάθμια ως προς 
. 
(εδώ χρησιμοποίησα ότι δεν μηδενίζεται ο παρονομαστής). Παίρνοντας όριο 
έπεται 
, όπως θέλαμε.