mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2024 8:43 pm**

: Εμβαδόν από περίμετρο.png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές

Το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

έχει σταθερή περίμετρο

αλλά οι πλευρές του μεταβάλλονται .

Υπολογίστε το εμβαδόν του ως συνάρτηση της

και βρείτε το μέγιστο αυτού του εμβαδού .

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Μάιος 29, 2024 9:20 pm**

Καλησπέρα σε όλους. Με χρήση παραγώγου. Θα αναζητήσω και καθαρή αλγεβρική λύση.

: Εμβαδόν από περίμετρο.png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 697 φορές

Έστω

και $\displaystyle L > a + x$ . Τότε $\displaystyle x + a + \sqrt {{x^2} + {a^2}} = L$ , σταθερό.

Οπότε $\displaystyle \sqrt {{x^2} + {a^2}} = L - x - a \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow a = \frac{{{L^2} - 2Lx}}{{2L - 2x}}$

$\displaystyle \left( {AOB} \right) = \frac{{ax}}{2}$ Γράφεται ως συνάρτηση του

: $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{{L^2}x - 2L{x^2}}}{{4L - 4x}},\;\;0 < x < L - a$

Η παράγωγος της συνάρτησης

μηδενίζεται όταν $\displaystyle 2{x^2} - 4Lx + {L^2} = 0$ .

Η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο όταν $\displaystyle x = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2} \cdot L$

mathematica.gr

Εμβαδόν από περίμετρο

Εμβαδόν από περίμετρο

Re: Εμβαδόν από περίμετρο