mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 11, 2024 10:33 pm**

Σε τετράεδρο OABC

η στερεά γωνία

είναι τρισορθογώνιος και OA=1,OB=2,OC=3.

Yπολογίστε τη δίεδρη γωνία των επιπέδων OAC

και

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 12, 2024 2:45 am**

Λύση...ChatGPT

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 12, 2024 9:11 am**

Προς τον mick7. :
Θα ήθελα να γραφεί λύση που να είναι ορατή σε όλους.
Ο σύνδεσμος που δίνεις έχει χρονική διάρκεια που έχει παρέλθει.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 12, 2024 9:44 am**

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τετ Ιουν 12, 2024 9:11 am Προς τον mick7. :
Θα ήθελα να γραφεί λύση που να είναι ορατή σε όλους.
Ο σύνδεσμος που δίνεις έχει χρονική διάρκεια που έχει παρέλθει.

Τηλέμαχε, ορθότατο αυτό που γράφεις, και θα πήγαινα ένα βήμα παραπέρα:

Αν κάποιος θέλει να αναρτήσει λύση με ChatGPT καλό είναι να την αναρτήσει ΜΕΤΑ που θα εμφανιστούν λύσεις από ανθρώπους.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 12, 2024 12:31 pm**

Δεν είχα δει αν η απάντηση του Chat GPT που δόθηκε ήταν η ορθή ή όχι. Όταν ρώτησα εγώ το Chat GPT 3.5, ενώ είχε κάνει την ορθή διαδικασία, έκανε λάθος στις πράξεις και βρήκε γωνία $90^{\circ}$ που δεν είναι σωστό.

Έπρεπε να του επισημάνω το λάθος του για να επιστρέψει και να το κάνει σωστά.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 12, 2024 2:31 pm**

Demetres έγραψε: Τετ Ιουν 12, 2024 12:31 pm Δεν είχα δει αν η απάντηση του Chat GPT που δόθηκε ήταν η ορθή ή όχι. Όταν ρώτησα εγώ το Chat GPT 3.5, ενώ είχε κάνει την ορθή διαδικασία, έκανε λάθος στις πράξεις και βρήκε γωνία $90^{\circ}$ που δεν είναι σωστό.

Έπρεπε να του επισημάνω το λάθος του για να επιστρέψει και να το κάνει σωστά.

Δυστυχώς και το Gemini, που το θεωρώ πολύ καλύτερο από το ChatGPT σε μη Μαθηματικά θέματα, μου έδωσε τρεις φορές λάθος απάντηση. Στα παρακάτω δεν βάζω την "λύση" του Gemini αλλά μόνο τα σημεία που παραδέχεται ότι η εκάστοτε λύση του είναι εσφαλμένη.

1η προσπάθεια του Gemini:
...
Therefore, the dihedral angle between planes OAC and ABC in the tetrahedron is 90 degrees.

Απάντησα: Certainly this is wrong. You find n_ABC=(0,-6,0), in other words parallel to the y axis, which is false.

2η προσπάθεια του Gemini:
You are absolutely right. I apologize for the mistake in the previous solution.
There was an error in calculating the normal vector to plane ABC (n_ABC). Here's the corrected approach:
...
The corrected solution confirms that the dihedral angle between planes OAC and ABC in the tetrahedron is indeed 90 degrees.
I apologize for the previous inaccuracy. Thank you for pointing out the mistake. It helps me learn and improve.

Απάντησα: Again this is wrong. Now you find n_ABC is parallel to the x-axis but this is clearly false.

3η προσπάθεια του Gemini:
You're absolutely correct again. I apologize for the repeated mistakes. There seems to be a flaw in my initial approach to finding the normal vector to plane ABC (n_ABC).
...
Conclusion:
The revised approach reveals that due to the specific edge lengths and the trirectangular solid angle at O, planes OAC and ABC might coincide (completely overlap) in this tetrahedron.
Therefore, the concept of a dihedral angle between them becomes undefined.
I apologize for the repeated errors and appreciate your patience in pointing them out. This helps me improve my reasoning and approach to 3D geometry problems.

Απάντησα: Again you are wrong. Terribly wrong.

και έλαβα την αφοπλιστική απάντηση:

I understand your frustration. My previous attempts were indeed incorrect. It seems I made a critical error in my understanding of the problem.

Would you be willing to provide a hint or point me in the right direction? This would allow me to learn from the mistake and improve my approach to solving similar problems in the future.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 12, 2024 2:54 pm**

Δυστυχώς το Gemini δεν είναι καλύτερο απο το ChatGPT σε αρκετά παραδείγματα που έχω δοκιμάσει. Η Advanced version του Gemini είναι μάλλον καλύτερη αλλά έχει και ένα κόστος γύρω στα 20 ευρώ το μήνα. Τώρα εικάζω οτι το free Gemini έγινε κακό όταν εμφανίστηκε το το αδελφάκι του επι πληρωμή. Ο λόγος προφανής.

Βάζω σε απόκρυψη την απάντηση που δίνει η advanced version μια που έχω συνδρομή.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 12, 2024 2:58 pm**

Δυστυχώς παρέχουν υπηρεσίες με όρους οι οποίοι δεν είναι προφανείς ώστε να εξαναγκάσουν τους χρήστες στην επι πληρωμή εκδοχή του προϊόντος τους.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τετ Ιουν 12, 2024 9:11 am Προς τον mick7. :
Θα ήθελα να γραφεί λύση που να είναι ορατή σε όλους.
Ο σύνδεσμος που δίνεις έχει χρονική διάρκεια που έχει παρέλθει.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιουν 12, 2024 10:12 pm**

Toυλάχιστον προς το παρόν, η τεχνητή νοημοσύνη δε φαίνεται να τα πηγαίνει καλά με το πρόβλημα...
Υπάρχει όμως η φυσική νοημοσύνη...
Θέλω να δω λύσεις, το πρόβλημα είναι ωραίο και μάλλον χρήσιμο.
Αξίζει το χρόνο και τη διάθεσή σας...

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 13, 2024 6:50 pm**

Ζήτησα από το ChatGPT να λύσει αυτό το πρόβλημα και μου έδωσε την εξής απάντηση: arccos (-3/7). Το μήνυμα του αιτήματος - εισήγαγα το πρώτο μήνυμα αυτής της συνομιλίας και έγραψα "λύσε το πρόβλημα". Πρέπει να δημοσιεύσω εδώ τη λύση που έδωσε το ChatGPT;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 13, 2024 8:17 pm**

Επειδή θα προτιμούσα να δοθεί προτεραιότητα στη φυσική νοημοσύνη, στη λύση που μπορεί να γράψει κάποιος άνθρωπος, άσε το προς το παρόν...
Όταν δοθεί λύση, είτε με Αναλυτική Γεωμετρία είτε με Ευκλείδεια Γεωμετρία, συζητάμε και τη λύση ChatGPT...

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 14, 2024 3:51 pm**

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τρί Ιουν 11, 2024 10:33 pm Σε τετράεδρο η στερεά γωνία είναι τρισορθογώνιος και
Yπολογίστε τη δίεδρη γωνία των επιπέδων και

Εξετάζουμε την τρίεδρη γωνία στην κορυφή

. Για αυτήν ισχύει ο νόμος των συνημιτόνων για τρίεδρη γωνία

$\cos \widehat{OAB} = \cos \widehat{OAC} \cdot \cos \widehat{BAC} + \sin \widehat{OAC} \cdot \sin \widehat{BAC} \cos (AC) \quad \ast$

Όπου με (AC)

συμβολίζουμε την δίεδρη γωνία που αντιστοιχεί στην ακμή

(η ζητούμενη).

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε $AB=\sqrt{5}, AC = \sqrt{10}, BC=\sqrt{13}$ . Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τίγωνο ABC

βρίσκουμε

$(\sqrt{13})^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{10})^2 - 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \cdot \cos \widehat{BAC} \Rightarrow$

$\cos \widehat{BAC} = \dfrac{1}{5\sqrt{2}}$

Είναι $\cos^2 \widehat{BAC} + \sin^2 \widehat{BAC} = 1 \Rightarrow \sin \widehat{BAC} = \dfrac{7}{5\sqrt{2}}$ .

Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών έχουμε

$\cos \widehat{OAB} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}, \quad \cos \widehat{OAC} = \dfrac{1}{\sqrt{10}}, \quad \sin \widehat{OAC} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$

Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιμές στην σχέση ( $\ast$ ) βρίσκουμε

$\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}} \cdot \dfrac{1}{5\sqrt{2}} + \dfrac{3}{\sqrt{10}} \cdot \dfrac{7}{5\sqrt{2}} \cos (AC) \Rightarrow$

$\dfrac{\sqrt{10} \cdot 5\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = (1+21 \cos (AC) ) \Rightarrow$

$10 = 1+21 \cos (AC) \Rightarrow$

$\cos (AC) = \dfrac{3}{7}$

Οπότε το μέτρο της ζητούμενης γωνίας ισούται με $\arccos \left(\dfrac{3}{7} \right) \approx 65^0$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 14, 2024 5:49 pm**

Al.Koutsouridis έγραψε: Παρ Ιουν 14, 2024 3:51 pm
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τρί Ιουν 11, 2024 10:33 pm Σε τετράεδρο η στερεά γωνία είναι τρισορθογώνιος και
Yπολογίστε τη δίεδρη γωνία των επιπέδων και .
Εξετάζουμε την τρίεδρη γωνία στην κορυφή . Για αυτήν ισχύει ο νόμος των συνημιτόνων για τρίεδρη γωνία

$\cos \widehat{OAB} = \cos \widehat{OAC} \cdot \cos \widehat{BAC} + \sin \widehat{OAC} \cdot \sin \widehat{BAC} \cos (AC) \quad \ast$

Όπου με συμβολίζουμε την δίεδρη γωνία που αντιστοιχεί στην ακμή (η ζητούμενη).

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε $AB=\sqrt{5}, AC = \sqrt{10}, BC=\sqrt{13}$ . Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τίγωνο βρίσκουμε

$(\sqrt{13})^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{10})^2 - 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{10} \cdot \cos \widehat{BAC} \Rightarrow$

$\cos \widehat{BAC} = \dfrac{1}{5\sqrt{2}}$

Είναι $\cos^2 \widehat{BAC} + \sin^2 \widehat{BAC} = 1 \Rightarrow \sin \widehat{BAC} = \dfrac{7}{5\sqrt{2}}$ .

Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών έχουμε

$\cos \widehat{OAB} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}, \quad \cos \widehat{OAC} = \dfrac{1}{\sqrt{10}}, \quad \sin \widehat{OAC} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$

Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιμές στην σχέση ( $\ast$ ) βρίσκουμε

$\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}} \cdot \dfrac{1}{5\sqrt{2}} + \dfrac{3}{\sqrt{10}} \cdot \dfrac{7}{5\sqrt{2}} \cos (AC) \Rightarrow$

$\dfrac{\sqrt{10} \cdot 5\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = (1+21 \cos (AC) ) \Rightarrow$

$10 = 1+21 \cos (AC) \Rightarrow$

$\cos (AC) = \dfrac{3}{7}$

Οπότε το μέτρο της ζητούμενης γωνίας ισούται με $\arccos \left(\dfrac{3}{7} \right) \approx 65^0$ .

Το ChatGPT έδωσε περίπου την ίδια λύση.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 14, 2024 7:33 pm**

Μπορούμε να συνεχίσουμε από την viewtopic.php?f=27&t=75953&p=366809#p366809
Μεταφέρω αυτούσιο το σχήμα.

: Ortho-tetr.png (20.45 KiB) Προβλήθηκε 3194 φορές

Η γωνία που ζητάμε είναι η $\varphi =\widehat{OML}$
Είναι
$\varepsilon \varphi ^{2}\varphi =\frac{\eta \mu ^{2}\varphi }{1-\eta \mu ^{2}\varphi }$
και
$\eta \mu ^{2}\varphi =\frac{\frac{1}{OM^{2}}}{\frac{1}{OL^{2}}}=\frac{\frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{r^{2}}}{\frac{1}{p^{2}}+\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{q^{2}}}$
Συνδυάζοντας αυτές τις σχέσεις βρίσκουμε
$\varepsilon \varphi \varphi =q\frac{\sqrt{p^{2}+r^{2}}}{pr}$
Αντικαθιστώντας p=1

,

.

βρίσκουμε $\varepsilon \varphi \varphi =\allowbreak \frac{2}{3}\sqrt{10}$ .
Εύκολα επαληθεύεται ότι το συνημίτομο είναι $\allowbreak \frac{3}{7}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιουν 15, 2024 1:38 pm**

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Τρί Ιουν 11, 2024 10:33 pm Σε τετράεδρο η στερεά γωνία είναι τρισορθογώνιος και
Yπολογίστε τη δίεδρη γωνία των επιπέδων και

Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα των "τριών ημιτόνων", που είναι συνέπεια νόμου ημιτόνων σε τρίεδρη γωνία.

Έστω δυο επίπεδα $\pi, \pi_{1}$ τέμνονται κατά ευθεία , ευθεία $\epsilon$ του επιπέδου $\pi$ σχηματίζει με την ευθεία τομής γωνία $\widehat{(l, \epsilon)} = \theta$ , με το επίπεδο $\pi_{1}$ γωνία $\widehat{(\epsilon, \pi_{1})} = \psi$ και η γωνία μεταξύ των επιπέδων είναι $\widehat{(\pi, \pi_{1})} = \phi$ . Τότε ισχύει $\sin \psi = \sin \theta \cdot \sin \phi$ .

Στην περίπτωσή μας έχουμε

$OD \cdot BC = OB \cdot OC \Rightarrow OD = \dfrac{6}{\sqrt{13}}$

$AD^2=OD^2+OA^2 \Rightarrow AD = \dfrac{7}{\sqrt{13}}$ .

Οπότε $\sin \psi = \dfrac{OD}{AD} = \dfrac{6}{7}$

$\sin \theta = \dfrac{OC}{AC} = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$

Άρα το ημίτονο της γωνίας των ζητούμενων επιπέδων θα είναι

$\sin \phi = \dfrac{\sin \psi}{\sin \theta}= \dfrac{2\sqrt{10}}{7} \Rightarrow$

$\phi = \arcsin \left( \dfrac{2\sqrt{10}}{7}\right) \approx 65^{0}$ .

: parallagh.png (438.8 KiB) Προβλήθηκε 3131 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 02, 2024 2:07 pm**

Mε τα διανύσματα η αντιμετώπιση είναι η εξής:

Έστω A(1,0,0)

,

,

$\vec{u}=\overrightarrow{CA}=(1,0,-3)$

και επίσης

$\vec{w}=\overrightarrow{CB}=(0,2,-3)$

Θεωρούμε το κάθετο στο επίπεδο (ABC)

διάνυσμα $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{w}=(6,3,2)$

και το κάθετο στο επίπεδο (OAC)

διάνυσμα $\displaystyle \vec{j}=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OB}=(0,1,0)$

Υπολογίζουμε τη γωνία $\phi$ των διανυσμάτων $\vec{j}$ και $\vec{n}$

$\displaystyle\cos\phi= \frac{\vec{j}\cdot \vec{n}}{|\vec{j}| \cdot |\vec{n}|}}=\frac{3}{7}$

οπότε $\phi \approx {64}^o37'$

mathematica.gr

ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Re: ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ