mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 23, 2024 8:55 am**

: Κατασκευή χορδής..png (10.78 KiB) Προβλήθηκε 753 φορές

Δίνεται κύκλος διαμέτρου AB,

μία χορδή

κάθετη στη διάμετρο στο σημείο

και ένα τμήμα μήκους

με

$a\le MB.$ Να εντοπίσετε σημείο

του κύκλου, ώστε αν η χορδή

τέμνει τη

στο

να είναι

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 23, 2024 9:47 am**

george visvikis έγραψε: Κυρ Ιουν 23, 2024 8:55 am Δίνεται κύκλος διαμέτρου μία χορδή κάθετη στη διάμετρο στο σημείο και ένα τμήμα μήκους με
$a\le MB.$ Να εντοπίσετε σημείο του κύκλου, ώστε αν η χορδή τέμνει τη στο να είναι

Καλημέρα καλημέρα.

Ας μου επιτραπεί να περιγράψω μία κάπως παραβατική ιδέα επιδιώκοντας κάποιον πλουραλισμό, αφού μάνι μάνι υπάρχει
και η καταρχάς αλγεβρική με σκοπό την κατασκευή ρίζας κτλ:

Θεωρούμε στο εσωτερικό της χορδής

σημείο

τέτοιο πού CK= a .

Στη συνέχεια κατασκευάζουμε τον κύκλο διαμέτρου

κέντρου, έστω

Ονομάζουμε

το σημείο τομής του ευθύγραμμου τμήματος

με τον ανασκευασθέντα ήδη κύκλο με διάμετρο το CK,

Τότε ο κύκλος (A, AF)

τέμνει την

στα ζητούμενα σημεία

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 23, 2024 9:57 am**

george visvikis έγραψε: Κυρ Ιουν 23, 2024 8:55 am Κατασκευή χορδής..png
Δίνεται κύκλος διαμέτρου μία χορδή κάθετη στη διάμετρο στο σημείο και ένα τμήμα μήκους με

$a\le MB.$ Να εντοπίσετε σημείο του κύκλου, ώστε αν η χορδή τέμνει τη στο να είναι

Με βάση το σχήμα του Γιώργου: Επειδή το MBST

είναι εγγράψιμμο (οι γωνίες του

και

είναι ορθές) έπεται από την δύναμη του σημείου

ως προς το MBST

ότι

$AT(AT+a)= AM\cdot AB$ .

Λύνουμε τώρα την δευτεροβάθμια ως προς

. Συγκεκριμένα, κατά τα γνωστά, έστω

τέτοιο ώστε $b^2= AM\cdot AB$ , το οποίο κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη: Γράφουμε κύκλο διαμέτρου MA+AB

, και φέρνουμε κάθετο στην διάμετρο στο σημείο της

μέχρι να τμήσει τον κύκλο. Το μήμα αυτό, ως ύψος ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα την

, έχει την ζητούμενη ιδιότητα.

Έτσι η δευτεροβάθμια με AT=x

γίνεται

, οπότε $x= \frac {1}{2}(-a + \sqrt {a^2+(2b)^2} )$ , που κατασκευάζεται (χρήση Πυθαγορείου). Τελειώσαμε.

Έχω ένα ενδιαφέρον ιστορικό σχόλιο γι' αυτό το πρόβλημα, το οποίο συζητά ο Πάππος στην Συναγωγή του. Θα το γράψω αργότερα, όταν βρω την ακριβή παραπομπή.

Edit: Με πρόλαβε ο Σωτήρης. Χρωστάω όμως το ιστορικό σχόλιο.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 23, 2024 4:39 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Ιουν 23, 2024 9:57 am Έχω ένα ενδιαφέρον ιστορικό σχόλιο γι' αυτό το πρόβλημα, το οποίο συζητά ο Πάππος στην Συναγωγή του. Θα το γράψω αργότερα, όταν βρω την ακριβή παραπομπή.

Η πρώτη φορά που εμφανίζεται το εν λόγω πρόβλημα είναι σε ειδική περίπτωση, συγκεκριμένα όπου το

στο σχήμα του Γιώργου είναι στο $\dfrac{1}{4}$ της διαμέτρου και το $a= \sqrt {\dfrac {3}{2} }R$ , όπου

η ακτίνα του ημικυκλίου. Αυτό που προκαλεί εντύπωση είναι η παλαιότητα της αναφοράς: Οφείλεται στον Ιπποκράτη τον Χίο, σε έναν από τους τετραγωνισμούς μηνίσκου που έκανε, τον 5ο αιώνα π.Χ. Πηγή μας το Υπόμνημα στα Φυσικά του Αριστοτέλη, του Σιμπλικίου (ο οποίος έζησε τον 6ο αι. μ.Χ., δηλαδή περί τα 1000 αργότερα από τον Ιπποκράτη. (Βλέπε π.χ. Heath, History of Greek Mathematics, τόμος 1, σελίς 193

).

Το ίδιο το πρόβλημα που ανάρτησε ο θεματοθέτης, ο Γιώργος, και μερικές παραλαγές του, υπάρχουν στην περίφημη Συναγωγή του Πάππου (450 μ.Χ.), στο Βιβλίο 7, όπου δίνει περίληψη του κατά τα άλλα χαμένου σήμερα έργου Περί νεύσεων του Απολλωνίου. Ο Πάππος δεν μας δίνει την λύση του Απολλωνίου. Λύσεις βέβαια τώρα υπάρχουν στα παραπάνω ποστ.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιουν 23, 2024 6:58 pm**

george visvikis έγραψε: Κυρ Ιουν 23, 2024 8:55 am Κατασκευή χορδής..png
Δίνεται κύκλος διαμέτρου μία χορδή κάθετη στη διάμετρο στο σημείο και ένα τμήμα μήκους με

$a\le MB.$ Να εντοπίσετε σημείο του κύκλου, ώστε αν η χορδή τέμνει τη στο να είναι