mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 28, 2024 8:26 pm**

: Το όριο της ακεραιότητας.png (12.29 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου AB=6

ενός ημικυκλίου θεωρούμε σημείο

, ώστε :

.

Η εφαπτομένη

τέμνει την εφαπτομένη του τόξου στο

, στο σημείο

. Έστω :

.

α) Δείξτε ότι το γινόμενο : $x\cdot y$ , για $n \in N^*$ , είναι επίσης ακέραιο ... β) Υπολογίστε το : $\lim\limits_ {n \to 0}(x\cdot y )$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 28, 2024 9:19 pm**

KARKAR έγραψε: Παρ Ιουν 28, 2024 8:26 pm Το όριο της ακεραιότητας.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου θεωρούμε σημείο , ώστε : $BS=n , n \in N^*$ .

Η εφαπτομένη τέμνει την εφαπτομένη του τόξου στο , στο σημείο . Έστω : .

α) Δείξτε ότι το γινόμενο : $x\cdot y$ , είναι επίσης ακέραιο ... β) Υπολογίστε το : $\lim\limits_ {n \to 0}(x\cdot y )$ .

Είναι

. Από το Πυθαγόρειο στο ATS

και από την δύναμη του σημείου

έχουμε αντίστοιχα

y^2 +(6+n)^2=(x+y)^2

και

.

Αφαιρούμε κατά μέλη οπότε 6n+36=2xy

. Οπότε α) xy=3n+18

(ακέραιος) και β) $\lim\limits_ {n \to 0}x y = 18$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 28, 2024 10:47 pm**

KARKAR έγραψε: Παρ Ιουν 28, 2024 8:26 pm Το όριο της ακεραιότητας.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου θεωρούμε σημείο , ώστε : $BS=n , n \in N^*$ .

Η εφαπτομένη τέμνει την εφαπτομένη του τόξου στο , στο σημείο . Έστω : .

α) Δείξτε ότι το γινόμενο : $x\cdot y$ , είναι επίσης ακέραιο ... β) Υπολογίστε το : $\lim\limits_ {n \to 0}(x\cdot y )$ .

: Το όριο της ακεραιότητας.png (11.08 KiB) Προβλήθηκε 392 φορές

.
Έστω εν γένει ημικύκλιο ακεραίας ακτίνας ,

. Ας είναι

το κέντρο του ημικυκλίου.

Προφανές ότι TA = TP = y

ως εφαπτόμενα τμήματα προς κύκλο . Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων : $PKS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ATS$ έχω :

$\dfrac{{KP}}{{AT}} = \dfrac{{PS}}{{AS}} \Rightarrow \dfrac{R}{y} = \dfrac{x}{{2R + n}} \Rightarrow \boxed{xy = R\left( {2R + n} \right)}$ . Δηλαδή το

είναι πάντα ακέραιος .

Έτσι ακόμα , $\mathop {\lim \left( {xy} \right)}\limits_{n \to 0} = \mathop {\lim }\limits_{n \to 0} R\left( {2R + n} \right) = 2{R^2}$ .

mathematica.gr

Το όριο της ακεραιότητας

Το όριο της ακεραιότητας

Re: Το όριο της ακεραιότητας

Re: Το όριο της ακεραιότητας