mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 07, 2024 9:27 am**

Καλημέρα.

Είναι γνωστό ότι κάθε συμμετρικό πολυώνυμο

μεταβλητών μπορεί να γραφεί ως έκφραση των

θεμελιωδών συμμετρικών πολυωνύμων (αθροισμάτων Vieta).

Έχουμε

μεταβλητές $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ και θεωρούμε το γινόμενο των $\binom{n}{k}$ αθροισμάτων

διαφορετικών μεταβλητών.Π.χ. αν (n,k)=(3,2)

, τότε θεωρούμε το $(x_{1}+x_{2})(x_{2}+x_{3})(x_{3}+x_{1})$ .

Για το πολυώνυμο που προκύπτει υπάρχει τύπος/αλγόριθμος για την έκφραση του ως πολυώνυμο των αθροισμάτων Vieta;

Π.χ. για το προηγούμενο παράδειγμα, ο τύπος/αλγόριθμος πρέπει να δίνει $(x_{1}+x_{2})(x_{2}+x_{3})(x_{3}+x_{1})=(x_{1}+x_{2}+x_{3})(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1})-x_{1}x_{2}x_{3}$ .

Ευχαριστώ εκ των πρότερων για όποια πληροφορία δοθεί. Καλό θα είναι να δοθεί και η αντίστοιχη παραπομπή.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 07, 2024 12:49 pm**

ksofsa έγραψε: Κυρ Ιούλ 07, 2024 9:27 am Καλημέρα.

Είναι γνωστό ότι κάθε συμμετρικό πολυώνυμο μεταβλητών μπορεί να γραφεί ως έκφραση των θεμελιωδών συμμετρικών πολυωνύμων (αθροισμάτων Vieta).

Έχουμε μεταβλητές $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ και θεωρούμε το γινόμενο των $\binom{n}{k}$ αθροισμάτων διαφορετικών μεταβλητών.Π.χ. αν , τότε θεωρούμε το $(x_{1}+x_{2})(x_{2}+x_{3})(x_{3}+x_{1})$ .

Για το πολυώνυμο που προκύπτει υπάρχει τύπος/αλγόριθμος για την έκφραση του ως πολυώνυμο των αθροισμάτων Vieta;

Π.χ. για το προηγούμενο παράδειγμα, ο τύπος/αλγόριθμος πρέπει να δίνει $(x_{1}+x_{2})(x_{2}+x_{3})(x_{3}+x_{1})=(x_{1}+x_{2}+x_{3})(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1})-x_{1}x_{2}x_{3}$ .

Ευχαριστώ εκ των πρότερων για όποια πληροφορία δοθεί. Καλό θα είναι να δοθεί και η αντίστοιχη παραπομπή.

Νομίζω ότι το συγκεκριμένο θεώρημα που αναφέρεσαι εξασφαλίζει μόνο την ύπαρξη.
Από διαίσθηση και μόνο θα έλεγα ότι θα είναι πολύ δύσκολο να υπάρχει τέτοιος αλγοριθμος/διαδικασία.
Θα το ψάξω παραπάνω και θα επανέλθω.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 07, 2024 12:56 pm**

Τελικά νομίζω ότι η διαίσθηση μου αυτή είναι λανθασμένη.
Σε παραπέμπω στην απόδειξη του συγκεκριμένου θεωρήματος στο Βιβλίο Algebraic Number Theory and Fermat's last theorem των Stewart Tall σελίδα 25.
Η απόδειξη χρησιμοποιεί έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο που νομίζω είναι αυτό που ψάχνεις.
Χρησιμοποιεί λεξικό γραφική διάταξη.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 07, 2024 1:34 pm**

https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_identities

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 07, 2024 3:48 pm**

Σάς ευχαριστώ για τις παραπομπές. Να είστε καλά.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 07, 2024 10:48 pm**

Ίσως είναι χρήσιμα όσα περιέχονται στην παρ. 52, σελ. 312 του κλασικού βιβλίου
A. Kurosh Higher Algebra, MIR, 1980
που μπορεί να μεταφορτωθεί ελεύθερα από τον σύνδεσμο
https://mirtitles.org/2012/12/25/higher-algebra-kurosh/

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 08, 2024 8:18 am**

Καλημέρα.

Σας ευχαριστώ για την παραπομπή. Πολύ ενδιαφέρον και καλογραμμένο φαίνεται να είναι και όλο το βιβλίο.

mathematica.gr

Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα

Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα

Re: Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα

Re: Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα

Re: Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα

Re: Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα

Re: Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα

Re: Ερώτηση για συμμετρικά πολυώνυμα