mathematica.gr • Τριγωνική αστάθεια

Σελίδα 1 από 1

Τριγωνική αστάθεια

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιούλ 08, 2024 5:06 pm

από KARKAR

: Τριγωνική αστάθεια.png (53.92 KiB) Προβλήθηκε 490 φορές

Σε κύκλο

(O,r)

"εγγράφουμε" τετράγωνο KLMN

KLMN

με τις κορυφές K , L

K , L

σε μεταβλητή οριζόντια χορδή

και τις

M , N

, σημεία του κύκλου . Το

είναι ο νότιος πόλος του κύκλου . Υπολογίστε το μέγιστο του (SKL)

(SKL)

.

Re: Τριγωνική αστάθεια

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 10, 2024 8:03 pm

από Ιάσων Κωνσταντόπουλος

Έστω

το ύψος του $\triangle KLS$ από το

Έστω

η πλευρά του KLMN

KLMN

Έστω

r=1

Έστω

ο Βόρειος Πόλος και $\{D\}=NM\cap SC$

Είναι d+a=SC>r=1

d+a=SC>r=1

οπότε
επειδή $ND^2=DC\cdot DS$ (τετράγωνο ύψους σε ορθογώνιο ορθογώνιο τρίγωνο)
βρίσκουμε $d=1-a+\sqrt{1-\dfrac{a^2}{4}}$

Οπότε το $(SKL)=\dfrac{1}{2}\cdot d\cdot a$ μεγιστοποιείται για μια τιμή του

για την οποία βρίσκουμε (με παραγώγους) ότι
$(2-a^2)=(2a-1)\sqrt{4-a^2}$ $\ (*)$
Από την τελευταία βρίσκουμε $\dfrac{1}{2}<a<\sqrt{2}$ (Π)

Η (*)

(*)

δίνει για $a\ne0$
5a^3-4a^2-19a+16=0

5a^3-4a^2-19a+16=0

Από τις ρίζες της τελευταίας, τον περιορισμό (Π) ικανοποιεί η $a\approx 0.85205$ $\blacksquare$