mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 10, 2024 3:56 pm**

Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ημικύκλιο διαμέτρου $\mathrm{AB}$ . Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος $\mathrm{PQ}$ .

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw[line width=1.2pt] (-3, 0) -- (3, 0); \draw[line width=1.2pt, samples=1000] (3, 0) arc(0:180:3cm); \draw (1, 0) -- (-0.69, 2.92); %apply styling \draw (-3, 0) node[below]{A}; \draw (3, 0) node[below]{B}; \draw (1, 0) node[below]{P}; \draw (-0.69, 2.92) node[above left]{Q}; \draw (-1, 0) node[below]{20}; \draw (2, 0) node[below]{6}; %style angle \draw [shift={(1,0)},line width=2pt,color=green,fill=green,fill opacity=0.5] (0,0) -- (120:0.6) arc (120:180:0.6) -- cycle; \draw (0.2, 0.5) node[]{60}; \end{tikzpicture}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 10, 2024 5:51 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Ιούλ 10, 2024 3:56 pm Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ημικύκλιο διαμέτρου $\mathrm{AB}$ . Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος $\mathrm{PQ}$ .

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw[line width=1.2pt] (-3, 0) -- (3, 0); \draw[line width=1.2pt, samples=1000] (3, 0) arc(0:180:3cm); \draw (1, 0) -- (-0.69, 2.92); %apply styling \draw (-3, 0) node[below]{A}; \draw (3, 0) node[below]{B}; \draw (1, 0) node[below]{P}; \draw (-0.69, 2.92) node[above left]{Q}; \draw (-1, 0) node[below]{20}; \draw (2, 0) node[below]{6}; %style angle \draw [shift={(1,0)},line width=2pt,color=green,fill=green,fill opacity=0.5] (0,0) -- (120:0.6) arc (120:180:0.6) -- cycle; \draw (0.2, 0.5) node[]{60}; \end{tikzpicture}}$

Έστω

Νόμος συνημιτόνων στα QAP, QPB.

: Αναζήτηση τμήματος.png (16.53 KiB) Προβλήθηκε 983 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} A{Q^2} = {x^2} + 400 - 20x \hfill \\ B{Q^2} = {x^2} + 36 + 6x \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{( + )} 676 = 2{x^2} - 14x + 436 \Leftrightarrow {x^2} - 7x - 120 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=15}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 10, 2024 6:02 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Ιούλ 10, 2024 3:56 pm Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ημικύκλιο διαμέτρου $\mathrm{AB}$ . Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος $\mathrm{PQ}$ .

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw[line width=1.2pt] (-3, 0) -- (3, 0); \draw[line width=1.2pt, samples=1000] (3, 0) arc(0:180:3cm); \draw (1, 0) -- (-0.69, 2.92); %apply styling \draw (-3, 0) node[below]{A}; \draw (3, 0) node[below]{B}; \draw (1, 0) node[below]{P}; \draw (-0.69, 2.92) node[above left]{Q}; \draw (-1, 0) node[below]{20}; \draw (2, 0) node[below]{6}; %style angle \draw [shift={(1,0)},line width=2pt,color=green,fill=green,fill opacity=0.5] (0,0) -- (120:0.6) arc (120:180:0.6) -- cycle; \draw (0.2, 0.5) node[]{60}; \end{tikzpicture}}$

.
Η ακτίνα του κύκλου είναι AB/2=(20+6)/2=13

. Αν λοιπόν

το κέντρο του κύκλου, έχουμε $AK=13, KP=20-13=7, \, PB=6$ . Από τον Νόμο των Συνημιτόνων στο KPQ

έχουμε

$13^2=KQ^2 = KP^2+PQ^2-2\cdot KP\cdot PQ \cos 60 = 7^2+PQ^2 -2\cdot 7\cdot PQ \cdot \frac {1}{2}$ . Άρα

PQ^2-7PQ -120=0

. Λύνοντας την δευτεροβάθμια έπεται ότι PQ=15

.

Edit. Με πρόλαβε ο Γιώργος, αλλά το αφήνω για τον κόπο.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 10, 2024 7:57 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Ιούλ 10, 2024 3:56 pm Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ημικύκλιο διαμέτρου $\mathrm{AB}$ . Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος $\mathrm{PQ}$ .

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw[line width=1.2pt] (-3, 0) -- (3, 0); \draw[line width=1.2pt, samples=1000] (3, 0) arc(0:180:3cm); \draw (1, 0) -- (-0.69, 2.92); %apply styling \draw (-3, 0) node[below]{A}; \draw (3, 0) node[below]{B}; \draw (1, 0) node[below]{P}; \draw (-0.69, 2.92) node[above left]{Q}; \draw (-1, 0) node[below]{20}; \draw (2, 0) node[below]{6}; %style angle \draw [shift={(1,0)},line width=2pt,color=green,fill=green,fill opacity=0.5] (0,0) -- (120:0.6) arc (120:180:0.6) -- cycle; \draw (0.2, 0.5) node[]{60}; \end{tikzpicture}}$

Γεια σου Τόλη!

: shape.png (23.39 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 10, 2024 8:18 pm**

Ένα χαιρετισμό σε όλους: μέλη-φίλους του

Είχα κάνει σχήμα , αλλά με καλύπτει το σχήμα του Μιχάλη Νάννου ακριβώς από πάνω!

Ο νόμος συνημιτόνων στο τρίγωνο POQ

μας δίνει τη (δεκτή) λύση PQ=x=15

Πάντοτε με εκτίμηση. Φιλικά Γιώργος.

Όπως βλέπω (με δεύτερη ματιά) , η λύση έχει καλυφθεί από τον Μιχάλη Λάμπρου..

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 10, 2024 8:22 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Ιούλ 10, 2024 3:56 pm Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ημικύκλιο διαμέτρου $\mathrm{AB}$ . Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος $\mathrm{PQ}$ .

: shape2.png (44 KiB) Προβλήθηκε 933 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 11, 2024 12:33 am**

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Ιούλ 10, 2024 3:56 pm Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ημικύκλιο διαμέτρου $\mathrm{AB}$ . Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος $\mathrm{PQ}$ .

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw[line width=1.2pt] (-3, 0) -- (3, 0); \draw[line width=1.2pt, samples=1000] (3, 0) arc(0:180:3cm); \draw (1, 0) -- (-0.69, 2.92); %apply styling \draw (-3, 0) node[below]{A}; \draw (3, 0) node[below]{B}; \draw (1, 0) node[below]{P}; \draw (-0.69, 2.92) node[above left]{Q}; \draw (-1, 0) node[below]{20}; \draw (2, 0) node[below]{6}; %style angle \draw [shift={(1,0)},line width=2pt,color=green,fill=green,fill opacity=0.5] (0,0) -- (120:0.6) arc (120:180:0.6) -- cycle; \draw (0.2, 0.5) node[]{60}; \end{tikzpicture}}$

Προεκτείνω την

και τέμνει το κάτω ημικύκλιο στο

.

Θέτω : $PQ = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PC = y$ . Από τα όμοια τρίγωνα $APQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CPB$ ή από δύναμη σημείου , $xy = 120\,\,\,\left( 1 \right)$ .

: Αναζήτηση τμήματος.png (32.23 KiB) Προβλήθηκε 888 φορές

Από το Θ απέναντι αμβλείας ή Θ συνημίτονου στο , POC

έχω : ${y^2} + 7y - 120 = 0$ με μια δεκτή θετική ρίζα : $y = 8\,\,\,\left( 2 \right)$ .

Έτσι η $\left( 1 \right)\,\,$ δίδει : $\boxed{x = 15}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 11, 2024 7:36 pm**

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Ιούλ 10, 2024 3:56 pm Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται ημικύκλιο διαμέτρου $\mathrm{AB}$ . Να υπολογιστεί το μήκος του τμήματος $\mathrm{PQ}$ .

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw[line width=1.2pt] (-3, 0) -- (3, 0); \draw[line width=1.2pt, samples=1000] (3, 0) arc(0:180:3cm); \draw (1, 0) -- (-0.69, 2.92); %apply styling \draw (-3, 0) node[below]{A}; \draw (3, 0) node[below]{B}; \draw (1, 0) node[below]{P}; \draw (-0.69, 2.92) node[above left]{Q}; \draw (-1, 0) node[below]{20}; \draw (2, 0) node[below]{6}; %style angle \draw [shift={(1,0)},line width=2pt,color=green,fill=green,fill opacity=0.5] (0,0) -- (120:0.6) arc (120:180:0.6) -- cycle; \draw (0.2, 0.5) node[]{60}; \end{tikzpicture}}$