math800 έγραψε: Παρ Ιούλ 19, 2024 5:24 pm
Είναι ο σωστός ο διαχωρισμός του ορισμού από την υλοποίηση. Όμως , ορισμός χωρίς υλοποίηση είναι απλώς αλληλουχία λέξεων και τίποτα άλλο.
Ναι μεν, αλλά...
Ας δούμε την
υλοποίηση και τις
αλληλουχίες λέξεων κάτω από ένα άλλο πρίσμα
εξετάζοντας την ίδια την έννοια των συνόλων που είναι το βασικό συστατικό των μαθηματικών.
Για τα σύνολα έχουμε ορισμό τύπου
Α) (με την έννοια που περιγράφεται στο ποστ #12), έστω συγκεκριμένα τη θεωρία ZFC (ή τη ZF)
Μπορούμε να υλοποιήσουμε τον ορισμό αυτόν?
Κάθε πρωτοβάθμια θεωρία, άρα και η ZFC, εάν είναι συνεπής θα πρέπει να έχει μοντέλα
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6de ... ss_theorem
Δηλαδή θα υπάρχουν δομές που ικανοποιούν τη ZFC όπως ακριβώς η προτεινόμενη δομή στο ποστ #3
ικανοποιεί τα αξιώματα του Peano.
Ειδικότερα θα υπάρχουν και αριθμήσιμα μοντέλα. Οπότε υλοποιήσεις υπάρχουν.
Όμως δεν υπάρχει τρόπος εμείς να υλοποιήσουμε κατασκευαστικά ένα τέτοιο μοντέλο
όπως έκανε ο Von Neumann με τους φυσικούς αριθμούς
(αλίμονο αν μπορούσαμε, γιατί τότε η θεωρία ZFC θα απεδείκνυε τη συνέπειά της!
Βέβαια υπάρχει ένα παραθυράκι "υλοποίησης" αλλά έχει κόστος!
Για λεπτομέρειες παραπέμπουμε στη
Σημείωση στο τέλος)
Έχει ενδιαφέρον ότι τα μοντέλα της ZFC δίνουν το κάθενα
έναν πλήρη ορισμό τύπου
Β) για τα σύνολα πού είναι όμως διαφορετικοί μεταξύ τους και αντιστοιχούν στις διαφορετικές αντιλήψεις που μπορεί να έχει κανείς για το τι είναι σύνολο.
Αξίζει να σημειωθεί προς τούτο ότι μπορούμε με αφετηρία ένα μοντέλο της ZFC
(ή της ZF) στο οποίο για παράδειγμα αληθεύει η υπόθεση του συνεχούς
(ή κάποια άλλη ιδιότητα ανεξάρτητη της ZFC
https://en.wikipedia.org/wiki/Independe ... cal_logic) )
να κατασκευάσουμε ένα μοντέλο της ZFC στο οποίο
ΔΕΝ θα αληθεύει
η υπόθεση του συνεχούς (ή η άλλη ανεξάρτητη ιδιότητα)
https://en.wikipedia.org/wiki/Forcing_(mathematics)
Οπότε δοθέντος αυθαιρέτου "υλοποιημένου" μοντέλου της ZFC, σίγουροι μπορούμε να είμαστε για την αλήθεια μόνο των ιδιοτήτων που βρίσκονται εντός της αποδεικτικής εμβέλειας της θεωρίας. Η αλήθεια των υπολοίπων είναι κρυμμένη από τα μάτια μας με αποτέλεσμα η υλοποίηση να μη μας λέει τίποτε παραπάνω από τις αποδείξεις της θεωρίας και ως εκ τούτου να μην έχει ιδιαίτερη σημασία. Μπορούμε να πούμε ότι τυπικά ένα σύνολο δεν είναι κάτι παραπάνω από την απόδειξη της ύπαρξής του, πράγμα που μας επιτρέπει, εφ' όσον το επιθυμούμε, να ξεφορτωθούμε τα σύνολα από τη σκέψη μας και να τα αντικαταστήσουμε με αυτές τις τυπικές αποδείξεις.
Αυτό σημαίνει πως όταν "υλοποιούμε" κάτι με σύνολα,
π.χ. έναν χώρο Banach, μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα
ή έναν τοπολογικό χώρο εφοδιασμένο με ένα δράγμα δακτυλίων,
μπορούμε να σκεφτόμαστε ότι τα υλικά κατασκευής αυτών των δομών είναι τυπικές αποδείξεις
(της ύπαρξης των συνόλων που χρησιμοποιούμε για να τις ορίσουμε).
Τα σύνολα είναι απλώς διακοσμητικές συντομογραφίες τυπικών αποδείξεων,
κουρτίνες (ή γυψοσανίδες) για να κρύβουμε πίσω τους τον ομολογουμένως βαρύ φορμαλισμό.
Οι τυπικές αποδείξεις από την πλευρά τους είναι τύποι της γλωσσας της θεωρίας συνόλων.
Δηλαδή εν τέλει με
αλληλουχίες λέξεων υλοποιούμε και εντός της εμβέλειας τους παραμένουμε.
Και αν κιόλας θυμηθούμε ότι οι τύποι της θεωρίας συνόλων μπορούν να κωδικοποιηθούν με φυσικούς αριθμούς
https://en.m.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del_numbering
στο τέλος θα δικαιώσουμε και τον Πυθαγόρα!
Ίσως να αισθάνεται κανείς ότι αυτή η "υλοποίηση" είναι αέρας κοπανιστός.
Μπορεί όμως κανείς να τη δει ως... Μαθηματικό Λόγο...
Εν αρχή ην ο Λόγος ... Πάντα δι΄ αυτού εγένετο και χωρίς αυτού εγένετο ουδέ εν, ο γέγονεν
Σημείωση
Αν είμαστε διατεθειμένοι να χρησιμοποιήσουμε μία ισχυρότερη θεωρία συνόλων,
για παράδειγμα να αποδεχτούμε επιπλέον την ύπαρξη ασθενώς απροσίτων πληθαρίθμων
(
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Inaccessible_cardinal)
τότε στο πλαίσιο της ισχυρότερης θεωρίας μπορούμε να ορίσουμε μοντέλα της ασθενέστερης θεωρίας ZFC.
Αλλά αυτό δεν είναι ιδιαίτερα ικανοποιητικό,
γιατί θυμίζει εκείνο το διάλογο:
-πού στηρίζεται η γη?
-σε τέσσερις τεράστιους ελέφαντες!
-και αυτοί οι ελέφαντες πού στηρίζονται?
-πατάνε στο καβούκι μιας γιγάντιας χελώνας (κ.ο.κ.)
Από την άλλη όμως δεν είναι λιγότερο ικανοποιητικό απ' το να υλοποιούμε τους φυσικούς αριθμούς
χρησιμοποιώντας μία αποδεικτικά ισχυρότερη θεωρία (όχι απαραίτητα εννοιολογικά στοιχειοδέστερη) όπως η... θεωρία συνόλων!
![\mathbb N := \bigcap \{\, x \mid \emptyset \in x \land \forall y[ y \in x \to y \cup \{ y \} \in x ] \,\}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/8dd4d8c27f3f7db35d8d80cd29ad180d.png "\mathbb N := \bigcap \{\, x \mid \emptyset \in x \land \forall y[ y \in x \to y \cup \{ y \} \in x ] \,\}")
συμπληρώθηκε με ουδέτερο στοιχείο (μήπως απλά οδήγησε στην παραδοχή αυτή η αυστηροποίηση της Άλγεβρας;). Παρακάτω για την "συμπλήρωση" αυτή αναφέρθηκα με παραπομπή για να απαντήσω στον Ιάσωνα. 
των φυσικών αριθμών όπως ορίστηκε, συμπληρώνεται με ένα στοιχείο 
που ορίζεται ως ουδέτερο στοιχείο, ήτοι ![(\forall x\epsilon N\cup \left \{ 0 \right \})\left [ x+0=0+x=x \right ]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/68db26e5f3514d8a6f038b9b88abf6d9.png "(\forall x\epsilon N\cup \left \{ 0 \right \})\left [ x+0=0+x=x \right ]")
. Έτσι συμβολίζουμε 
) δεν είναι 
υπάρχει τουλάχιστον το ""κουτί"" μέσα στο οποίο δεν υπάρχει κάτι, και αν μη τι άλλο υπάρχει ο συμβολισμός. Μία κουβέντα έστω και με ψήγματα επιστημοσύνης δεν έχει ανάγκη από τέτοια. Και για να μην παρεξηγηθώ κρίνω μόνο νοοτροπίες και ΟΧΙ πρόσωπα (που ως πρόσωπα μπορεί να είναι καλοί άνθρωποι πάνω του αναμενομένου) πολλώ δε μάλλον που δεν γνωρίζω. Μάθε λοιπόν φίλε τι να παρακάμπτεις και απάντα στο επιστημονικό και μόνο πνεύμα. Αν δεν κάνω λάθος η αρχική αντίληψη που ανέφερα για τον αριθμό (κλάση κλάσεων) ή τελείως παρόμοια για πρώτη φορά οφείλεται στον Frege που προανέφερες ήδη.
με δυο ορίσματα, 
ως υποκείμενο της γλώσσας, δηλαδή ως σύνολο, γίνεται με τον τύπο 
τον τύπο ύπαρξης του κενού 
για να τονίσουμε ότι δεν είναι ανάγκη να υπάρχει το αφήγημα ή η σημασία του ανήκειν πίσω από το