mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Ιούλ 24, 2024 7:40 pm**

: Κόκκινο εμβαδόν.png (12.03 KiB) Προβλήθηκε 1067 φορές

Το τετράπλευρο ABCD

είναι τετράγωνο .

κάθετη με

. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου , CKB

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 25, 2024 9:04 am**

: Επτά.png (10.15 KiB) Προβλήθηκε 999 φορές

Η καθετότητα των CK , KL

δίνει : $\ell=2k-a$ . Τώρα προκύπτει το σύστημα :

$\left\{\begin{matrix} a(a-k) & =6\\ k(2k-a))& =\dfrac{28}{5} \end{matrix}\right.$ , με λύση : $a=2\sqrt{5} , k=\dfrac{7}{\sqrt{5}}$ .

Συνεπώς το κόκκινο εμβαδόν ισούται με

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 25, 2024 9:38 am**

Παραθέτω και την δική μου λύση:

Προβάλλουμε το

στα

επί των

αντίστοιχα. Έστω

η πλευρά του τετραγώνου, και επίσης KN=x, KM=a-x, KT=z, LB=w.

Υποθέτοντας ( ; ) ότι το

κείται επί της διαγωνίου

προκύπτει άμεσα η z=a-x.

Από τις υποθέσεις (KCD)=3

και $(KLB)=\dfrac{14}{5}$ προκύπτουν οι ax=6

και $(a-x)w=\dfrac{28}{5},$ άρα και οι $x=\dfrac{6}{a}$ και $w=\dfrac{28}{5(a-x)}=\dfrac{28a}{5(a^2-6)},$ αντίστοιχα. Από το ορθογώνιο τρίγωνο KLC

και την

προκύπτει η

KM^2+ML^2+KT^2+CT^2=LB^2+BC^2,

δηλαδή η

την οποία γράφουμε ως (a-x)^2+(a-x)^2-2(a-x)w+w^2+(a-x)^2+x^2=w^2+a^2

και ως

οπότε

και

Αντικαθιστώντας τις $x=\dfrac{6}{a}$ και $w=\dfrac{28a}{5(a^2-6)}$ στην a=w+2x

προκύπτει άμεσα η διτετράγωνη 5a^4-118a^2+360=0,

η οποία λόγω a>0

δίνει $a=\sqrt{\dfrac{18}{5}}$ (προφανώς απορριπτέα) και $a=2\sqrt{5}.$ Εύκολα πλέον $x=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ και X=7.

: κόκκινο-εμβαδόν.png (47.77 KiB) Προβλήθηκε 991 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιούλ 25, 2024 12:36 pm**

Eustathia p. έγραψε: Τετ Ιούλ 24, 2024 7:40 pm Κόκκινο εμβαδόν.png

Το τετράπλευρο είναι τετράγωνο . κάθετη με . Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ,

Το τετράπλευρο

KJBT

είναι τετράγωνο

και τα ορθογώνια τρίγωνα KCJ,KAO,KTL

είναι ίσα με $\hat{JKC}=\hat{TKL},(DKC)=(DKA)=3$
(X)=(AKB),

είναι $KT=\upsilon _{1},a(a-\upsilon _{1})=6,(1),2X+2(DKC)=a^{2}\Leftrightarrow X=\dfrac{a^{2}-6}{2},(*)$ Από το ισκελές τρίγωνο και Π.Θ είναι $\dfrac{28}{5}=(a-\dfrac{12}{a})(a-\dfrac{6}{a})\Leftrightarrow a^{2}=20,(*)\Rightarrow X=7$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 26, 2024 7:12 am**

Eustathia p. έγραψε: Τετ Ιούλ 24, 2024 7:40 pm Το τετράπλευρο είναι τετράγωνο . κάθετη με . Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ,

: shape.png (28.35 KiB) Προβλήθηκε 813 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιούλ 26, 2024 10:52 pm**

Eustathia p. έγραψε: Τετ Ιούλ 24, 2024 7:40 pm Κόκκινο εμβαδόν.png

Το τετράπλευρο είναι τετράγωνο . κάθετη με . Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ,

Περνάω το εμβαδόν του $\vartriangle KLB$ μέσα στο $\vartriangle CDB$ . Προς τούτο θεωρώ

το συμμετρικό του

ως προς την

.

Προφανές : KC = KL

και απ’ αυτό τελικά , KC = KT = KL = KA

. Θέτω , $AB = a\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM = y$ με

μέσο του

.

$\left( {DKC} \right) = 3 \Rightarrow \dfrac{1}{2}ay = 3\, \Rightarrow y = \dfrac{a}{6}\,\left( 1 \right)$ . Το $\left( {KTC} \right)$ εκφράζω με δυο τρόπους .

: Κόκκινο εμβαδόν_λύση.png (22.42 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

$\left( {KTC} \right) = \dfrac{{{a^2}}}{2} - \left( {3 + \dfrac{{14}}{5}} \right)\,\,\,\left( 2 \right)$ και $\left( {KTC} \right) = \dfrac{1}{2}TC \cdot KM = \dfrac{1}{2} \cdot 2y\left( {a - y} \right) = \dfrac{6}{a}\left( {a - \dfrac{6}{a}} \right)\,\,\left( 2 \right)$ . Εξισώνω τα δεύτερα μέλη των $\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ κ έχω :

$\boxed{\dfrac{{{\alpha ^2}}}{2} - \dfrac{{29}}{5} = 6 - \dfrac{{36}}{{{\alpha ^2}}}}$ . Αν θέσω $E = {a^2}$ η εξίσωση γίνεται : $\dfrac{E}{2} - \dfrac{{29}}{5} = 6 - \dfrac{{36}}{E} \Rightarrow E = 20$ και άρα το εμβαδόν που θέλω είναι : $\boxed{\dfrac{E}{2} - 3 = 7}$

Παρατήρηση : η άλλη ρίζα του $E = \dfrac{{18}}{5} = 3,6 < 3 + 14/5$ και απορρίπτεται.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιούλ 27, 2024 2:48 am**

Eustathia p. έγραψε: Τετ Ιούλ 24, 2024 7:40 pm Κόκκινο εμβαδόν.png

Το τετράπλευρο είναι τετράγωνο . κάθετη με . Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ,

Είναι $(DKA)=(DKC)=3\Rightarrow (DZEA)=6=AE.a \Rightarrow AE= \dfrac{6}{a}$

Λόγω της προφανούς ισότητας των πράσινων γωνιών,είναι

$KA=KL\Rightarrow AL=2AE= \dfrac{12}{a} \Rightarrow BL=a- \dfrac{12}{a}= \dfrac{a^2-12}{a}$

Ισχύει $\dfrac{X}{(KBL)}= \dfrac{CN}{NL}= \dfrac{a}{BL}$ απ' όπου εύκολα

$X= \dfrac{14a^2}{5(a^2-12)} = \dfrac{5S}{14(S-12)}$ όπου S=(ABCD)

Επιπλέον είναι $X+3= \dfrac{S}{2}$ συνεπώς καταλήγουμε στην εξίσωση

5S^2-118S+360=0

που έχει λύσεις S=20

, $S= \dfrac{18}{5}$

Αν $S=\dfrac{18}{5}$ τότε $\dfrac{S}{2}= \dfrac{9}{5} \Rightarrow X= \dfrac{9}{5}-3=- \dfrac{6}{5}$ άτοπο.

Προφανές τώρα ότι X=7

: κόκκινο εμβαδόν.png (53.38 KiB) Προβλήθηκε 749 φορές

mathematica.gr

Κόκκινο εμβαδόν

Κόκκινο εμβαδόν

Re: Κόκκινο εμβαδόν

Re: Κόκκινο εμβαδόν

Re: Κόκκινο εμβαδόν

Re: Κόκκινο εμβαδόν

Re: Κόκκινο εμβαδόν

Re: Κόκκινο εμβαδόν