Ένα όριο!
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 27, 2024 10:36 am
Να υπολογιστεί το όριο:
![\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n^{-n^2} \left [ \left ( n+1 \right ) \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \left ( n + \frac{1}{2^2} \right ) \cdots \left ( n + \frac{1}{2^{n-1}} \right ) \right ]^n}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/da07cb4861901f63933cfd05f2a312b3.png "\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n^{-n^2} \left [ \left ( n+1 \right ) \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \left ( n + \frac{1}{2^2} \right ) \cdots \left ( n + \frac{1}{2^{n-1}} \right ) \right ]^n}")
Δεν έχω λύση ...
Δεν έχω λύση ...
Υπόδειξη: Η παράσταση γράφεται
![\displaystyle{\left [ \left ( 1+\frac {1}{n} \right ) \left ( 1 + \frac{1}{2n} \right ) \left ( 1 + \frac{1}{2^2n} \right ) \cdots \left ( 1 + \frac{1}{2^{n-1}n} \right ) \right ]^n}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/b999487e5f2d953039638dd9074305f0.png "\displaystyle{\left [ \left ( 1+\frac {1}{n} \right ) \left ( 1 + \frac{1}{2n} \right ) \left ( 1 + \frac{1}{2^2n} \right ) \cdots \left ( 1 + \frac{1}{2^{n-1}n} \right ) \right ]^n}")
Πάρε τώρα λογάριθμο. Στον κάθε προσθετέο χρησιμοποίησε ότι
. Θα σου χρειαστεί και η 
![\displaystyle
\ell = \lim_{n \to \infty} n^{-n^2} \left[ \prod_{k=0}^{n-1} \left( n + \frac{1}{2^k} \right) \right]^n = \lim_{n \to \infty} \left[ \prod_{k=0}^{n-1} \left( 1 + \frac{1}{n \,2^k} \right) \right]^n](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ac18c0ef69f989468da67b9e2075777c.png "\displaystyle
\ell = \lim_{n \to \infty} n^{-n^2} \left[ \prod_{k=0}^{n-1} \left( n + \frac{1}{2^k} \right) \right]^n = \lim_{n \to \infty} \left[ \prod_{k=0}^{n-1} \left( 1 + \frac{1}{n \,2^k} \right) \right]^n")
