mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 31, 2024 7:21 pm**

: Παραγωγή λόγου.png (13.79 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές

Από σημείο

στο εξωτερικό κύκλου (O,r)

, για το οποίο είναι : OS=d

, φέρουμε

τα εφαπτόμενα τμήματα :

και

. Από το μέσο

του

, φέρουμε το άλλο

εφαπτόμενο τμήμα

. Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PQ}{TQ}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 01, 2024 4:45 pm**

: paragogilogoy.png (53.28 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές

Έχω
$POT=180 -2\phi\LeftrightarrowPOT/2=90 -\phi\Leftrightarroww+90-s=90 -\phi\Leftrightarrow$
$w=s-\phi$

Ακόμα έχω $\frac{PQ}{QT}=\frac{sin(POQ/2)}{sin(QOT/2)}=\frac{sin(90-s)}{sin(w)}=\frac{cos(s)}{sin(w)}=\frac{cos(s)}{sin(s-\phi)}$

Στο τρίγωνο PQS

η διάμεσος

είναι ίση με το μισό της πλευράς

, άρα το τρίγωνο PQS

είναι ορθογώνιο στην γωνία

.

Θα δείξω ότι $\frac{cos(s)}{sin(s-\phi)}=\frac{1}{sin(\phi)}$

Πράγματι
$\frac{cos(s)}{sin(s-\phi)}=\frac{1}{sin(\phi)}\Leftrightarrow$
$sin(s-\phi)=cos(s)sin(\phi)\Leftrightarrow$
$sin(s)cos(\phi)-cos(s)sin(\phi)=cos(s)sin(\phi)\Leftrightarrow$
$sin(s)cos(\phi)=2cos(s)sin(\phi)\Leftrightarrow$
$tan(s)=2tan(\phi)\Leftrightarrow$
$\frac{PO}{PM}=2\frac{PO}{PS}\Leftrightarrow$
2PM=PS

που ισχύει.
Τελικά έχω $\frac{PQ}{QT}=\frac{1}{sin(\phi)}=\frac{OS}{OP}=\frac{d}{r}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 01, 2024 8:40 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Αύγ 31, 2024 7:21 pm Παραγωγή λόγου.pngΑπό σημείο στο εξωτερικό κύκλου , για το οποίο είναι : , φέρουμε

τα εφαπτόμενα τμήματα : και . Από το μέσο του , φέρουμε το άλλο

εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{PQ}{TQ}$ .

Επειδή $\boxed{QM = \frac{{PS}}{2}}$ άρα το τρίγωνο QPS

είναι ορθογώνιο . η

τέμνει τον κύκλο ακόμη στο

. Προφανώς η

είναι διάμετρος.

Η $PT \bot ET \Rightarrow PT \bot OS$ . Το τετράπλευρο ETQP

είναι αρμονικό . Αν η τομή των $OS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PT$ είναι το

θα είναι ,

: Παραγωγή λόγου_ok.png (24.73 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές

$\boxed{OH// = \frac{{ET}}{2}}$ . Τώρα θέτω: $QP = x\,\,,\,\,QT = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ET = k$ . Επειδή $\vartriangle POS\,\, \approx \,\,\vartriangle TEP$ και λόγω του αρμονικού τετράπλευρου :

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{{2r}}{k} = \frac{d}{r}\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ \frac{x}{y} = \frac{{2r}}{k}\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{x}{y} = \frac{d}{r}}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 01, 2024 11:35 pm**

..καλησπέρα, μια άποψη με την βοήθεια του σχήματος του Νίκου:

η ομοιότητα των τριγώνων EOS και TQP δίνει το αποτέλεσμα.

(συγγνωμη για την ελλειπεστατη παρουσίαση αλλά έχω ξεχάσει την χρήση LATEX)

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Σεπ 03, 2024 8:33 am**

: Παραγωγή λόγου.png (34.94 KiB) Προβλήθηκε 424 φορές

Συνοψίζοντας : Ορθή η $\widehat{PQS}$ , $ET \parallel OS$ , ίσες γωνίες ( βαίνουν σε ίσα τόξα )

και τελικά η ομοιότητα . Μια άσκηση θεωρώ "πλούσια" αλλά όχι "επιδεικτική" .

mathematica.gr

Παραγωγή λόγου

Παραγωγή λόγου

Re: Παραγωγή λόγου

Re: Παραγωγή λόγου

Re: Παραγωγή λόγου

Re: Παραγωγή λόγου