mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 01, 2024 10:06 am**

: Ο λόγος της κατασκευής .png (20.4 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές

Οι ακτίνες

και

είναι κάθετες μεταξύ τους . Πάνω στην εφαπτομένη του κύκλου στο

,

να εντοπισθεί σημείο

, ώστε : $\widehat{ATS}=\widehat{TOS}$ . Υπολογίστε και τον λόγο : $\dfrac{AP}{PT}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 01, 2024 11:10 am**

KARKAR έγραψε: Κυρ Σεπ 01, 2024 10:06 am Ο λόγος της κατασκευής .pngΟι ακτίνες και είναι κάθετες μεταξύ τους . Πάνω στην εφαπτομένη του κύκλου στο ,

να εντοπισθεί σημείο , ώστε : $\widehat{ATS}=\widehat{TOS}$ . Υπολογίστε και τον λόγο : $\dfrac{AP}{PT}$ .

Η

εφάπτεται στον περίκυκλο του OPT,

άρα $\displaystyle S{T^2} = SP \cdot r.$

: Ο λόγος της κατασκευής.png (13.54 KiB) Προβλήθηκε 344 φορές

$\displaystyle OA||TS \Leftrightarrow \frac{{ST}}{r} = \frac{{SP}}{{PO}} \Leftrightarrow \frac{{ST}}{{r + ST}} = \frac{{SP}}{r} = \frac{{S{T^2}}}{{{r^2}}} \Leftrightarrow S{T^2} + ST \cdot r - {r^2} = 0,$

απ' όπου $\boxed{ST = \frac{{r\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{2} = \frac{r}{\varphi }}$ ΚΑΙ $\boxed{\frac{{AP}}{{PT}} = \frac{r}{{ST}} = \varphi }$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Σεπ 01, 2024 4:13 pm**

: Ο λόγος της κατασκευής.png (16.07 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Έχω : $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ ( υπόθεση ) και $\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_1}}$ ( OA//TS

) . Συνεπώς : $\vartriangle OPA = \vartriangle STO \Rightarrow OP = TS = x$ .

Από την προφανή ομοιότητα : $\vartriangle OPA \approx \vartriangle SPT$ είναι : $\dfrac{{OP}}{{OA}} = \dfrac{{SP}}{{ST}} \Rightarrow \boxed{{x^2} = r\left( {r - x} \right)}$ .

Δηλαδή χωρίζω την ακτίνα

σε μέσο κι άκρο λόγο, με το σημείο

και προφανώς : $\boxed{\frac{{AP}}{{PT}} = \frac{{OP}}{{PS}} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} = \varphi }$ .

Για τον εντοπισμό του

φέρνω την ευθεία AP.

mathematica.gr

Ο λόγος της κατασκευής

Ο λόγος της κατασκευής

Re: Ο λόγος της κατασκευής

Re: Ο λόγος της κατασκευής