mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 14, 2024 2:45 pm**

: Ίσα τμήματα 51.png (15.69 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές

Στο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r

, οι γωνίες $\widehat{BAM}$ και $\widehat{MAN}$ είναι ίσες . Οι AN , BM

τέμνονται στο

, ενώ οι

στο

. Για ποια θέση του

, προκύπτει : OT=ST

;

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 14, 2024 8:44 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 14, 2024 2:45 pm Ίσα τμήματα 51.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , οι γωνίες $\widehat{BAM}$ και $\widehat{MAN}$ είναι ίσες . Οι τέμνονται στο , ενώ οι στο . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

Προφανώς το

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle SAB$ (λόγω του ημικυκλίου $\angle ANB=\angle AMB={{90}^{0}}$ ) και λόγω της διχοτόμου το εν λόγω τρίγωνο είναι ισοσκελές με «κορυφή»

οπότε

άξονας συμμετρίας του τριγώνου και συνεπώς TS=TB

. Αν θέλουμε και TS=TO

τότε το

θα είναι το περίκεντρο του τριγώνου $\vartriangle SOB$ και συνεπώς η

ως κάθετη στην χορδή

του περίκυκλού του θα είναι μεσοκάθετη αυτής και ας είναι $P\equiv ST\cap OB$ το μέσο λοιπόν της

Από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $\vartriangle SPB,\vartriangle AMB$ (κοινή γωνία η $\angle SBA$ θα έχουμε: $\dfrac{PB}{MB}=\dfrac{SB}{AB}\overset{SB=2MB}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{\dfrac{r}{2}}{MB}=\dfrac{2MB}{2r}\Rightarrow \ldots MB=\dfrac{r\sqrt{2}}{2}$ και συνεπώς προσδιορίζεται το

ως το σημείο τομής του κύκλου $\left( B,\dfrac{r\sqrt{2}}{2} \right)$ με το ημικύκλιο

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 16, 2024 10:34 am**

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 14, 2024 2:45 pm Ίσα τμήματα 51.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , οι γωνίες $\widehat{BAM}$ και $\widehat{MAN}$ είναι ίσες . Οι

τέμνονται στο , ενώ οι στο . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

: Ίσα τμήματα 51.png (14.95 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές

Κατασκευή: Θεωρώ σημείο

του ημικυκλίου ώστε $AN=\dfrac{3r}{2}$ και προεκτείνω το

κατά τμήμα $NS=\dfrac{r}{2}.$ Η

τέμνει το ημικύκλιο στο ζητούμενο σημείο

Αργότερα η απόδειξη.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 16, 2024 2:46 pm**

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 14, 2024 2:45 pm Ίσα τμήματα 51.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , οι γωνίες $\widehat{BAM}$ και $\widehat{MAN}$ είναι ίσες . Οι

τέμνονται στο , ενώ οι στο . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;