mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 23, 2024 11:05 am**

Ο κύβος με κορυφές (0,0,0)

,

,

,

,

,

,

,

περιστρέφεται γύρω από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία (0,0,0)

και

. Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που δημιουργείται.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Σεπ 25, 2024 7:05 am**

ttheodoros έγραψε: Δευ Σεπ 23, 2024 11:05 am Ο κύβος με κορυφές , , , , , , , περιστρέφεται γύρω από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και . Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που δημιουργείται.

Καλημέρα από Γρεβενά...

Πράγματι το θέμα αυτό έχει την ομορφιά του! Η περιστροφή του κύβου!

Μια περιστροφή γύρω από ένα σταθερό άξονα, τη διαγώνιο του. Και φανταστείτε

να ζητούσαμε ο άξονας αυτός να εκτελεί και μια δική του κίνηση...(Αστρονομία)

Το αποτέλεσμα φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

: Περιστροφή κύβου 1.png (75.41 KiB) Προβλήθηκε 1369 φορές

Αν προσέξουμε το σχήμα αυτό το οποίο αναρτώ και στη δυναμική του μορφή τότε θα διακρίνουμε

ότι το σχήμα αυτό αποτελείται από:

1ο) Δυο κωνικές επιφάνειες (δυο κώνοι) που διαγράφουν αντίστοιχα κάθε φορά

οι τρεις ακμές του κύβου που οι οποίες συντρέχουν στις κορυφές $\displaystyle{A=(0,0,0)}$ και $\displaystyle{G=(1,1,1)}$

και

2) Από μια υπερβολοειδή επιφάνεια που διαγράφεται από τις υπόλοιπες έξι ακμές του κύβου αυτού.

Το δυναμικό σχήμα μπορείτε να το δείτε στο σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/ueujnyxw

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Σεπ 30, 2024 10:48 pm**

ttheodoros έγραψε: Δευ Σεπ 23, 2024 11:05 am Ο κύβος με κορυφές , , , , , , , περιστρέφεται γύρω από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και . Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που δημιουργείται.

(Συνέχεια από το προηγούμενο...)

Καλησπέρα από Γρεβενά...

Συνεχίζοντας τη μελέτη του όμορφου σχήματος το οποίο προέκυψε από την περιστροφή
ενός μοναδιαίου κύβου, γύρω από μια διαγώνιο του κατά μια πλήρη γωνία, παρατηρούμε
ακόμα μερικά άλλα στοιχεία του προβλήματος αυτού.

Εργαζόμαστε στο πρώτο σχήμα που ακολουθεί:

: Κύβος 1.png (25.58 KiB) Προβλήθηκε 1270 φορές

Προβάλλοντας την ακμή $\displaystyle{AE}$ επί της διαγωνίου $\displaystyle{AG}$ και σκεπτόμενοι το ορθογώνιο τρίγωνο

$\displaystyle{(AEG)}$ έχουμε:

$\displaystyle{(AE)^2=(AS)(AG) \Rightarrow (AS)=\frac{\sqrt{3}}{3} \ \ \ (1) }$

κι αυτό διότι:

$\displaystyle{(AE)=1}$ και $\displaystyle{(AG)=\sqrt{3} }$

Από το ίδιο ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι:

$\displaystyle{ (ES)^2=(AS)(SG) \Rightarrow (ES)=\frac{\sqrt{6}}{3} \ \ \ (2) }$

Με τον ίδιο τρόπο δείχνεται ότι και οι κορυφές $\displaystyle{B,D}$ προβάλλονται στο ίδιο σημείο $\displaystyle{S}$

και απέχουν από το σημείο αυτό (και συνεπώς από τη διαγώνιο $\displaystyle{AG}$ ) απόσταση όσο και η

κορυφή $\displaystyle{E}$ .

Από τα ανωτέρω προκύπτει ότι οι ακμές $\displaystyle{ AE, AB, AD}$ ανήκουν στον ίδιο κώνο με κορυφή

το σημείο $\displaystyle{A}$ και βάση τον περιγεγραμμένο κύκλο στο τρίγωνο $\displaystyle{(BED)}$ , όπως δείχνει

το ακόλουθο σχήμα:

: Κύβος 2.png (32.38 KiB) Προβλήθηκε 1270 φορές

Ο όγκος του κώνου αυτού είναι:

$\displaystyle{V_1=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\pi (SE)^2 (AS) }$

και λόγω των (1) και (2) θα είναι:

$\displaystyle{V_1=\frac{2\sqrt{3}\pi}{27} \ \ \ (3) }$

Το ίδιο ισχύει και για τις κορυφές $\displaystyle{C,H, Z}$ , όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα:

: Κύβος 3.png (58.36 KiB) Προβλήθηκε 1270 φορές

Έτσι ο δεύτερος αυτός κώνος είναι ίσος με τον προηγούμενο και θα είναι:

$\displaystyle{V_2=\frac{2\sqrt{3}\pi}{27} \ \ \ (3) }$

Έτσι οι δυο αυτοί κώνοι έχουν άθροισμα:

$\displaystyle{V_{kon}=\frac{4\sqrt{3}\pi}{27} \ \ (4) }$

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Οκτ 04, 2024 10:46 pm**

ttheodoros έγραψε: Δευ Σεπ 23, 2024 11:05 am Ο κύβος με κορυφές , , , , , , , περιστρέφεται γύρω από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και . Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που δημιουργείται.

(Συνέχεια...)

Καλησπέρα από Γρεβενά.

Στην περίπτωσή μας, ενδιαφέρει να βρούμε την εξίσωση της επιφάνειας την οποία θα διαγράψουν οι

έξι ακμές του κύβου οι οποίες δεν συντρέχουν στις κορυφές $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{G}$ κατόπιν να την

"κατασκευάσουμε" με λογισμικό και τέλος να βρούμε τον όγκο που αυτή σχηματίζει.

Για απλούστευση θα θεωρήσουμε τον δοθέντα κύβο σε μια θέση ώστε η κορυφή $\displaystyle{A}$ να παραμένει στην

ίδια θέση, αλλά η κορυφή $\displaystyle{G}$ να ανήκει στον άξονα $\displaystyle{x'Ox}$ , όπως αυτό φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

: Κύβος 4.1.png (16.16 KiB) Προβλήθηκε 1157 φορές

Η θέση αυτή η οποία προέκυψε από την αρχικά δοθείσα με δυο κατάλληλες περιστροφές έχουν προκύψει

οι ακόλουθες τιμές - συντεταγμένες των οκτώ κορυφών:

$\displaystyle{A=(0,0,0), B=(\frac{\sqrt{3}}{3},0,\frac{\sqrt{6}}{3}),C=( \frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{6}), D=( 2\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{6}) }$
$\displaystyle{E=(2\frac{\sqrt{3}}{3},0, -\frac{\sqrt{6}}{6}),Z=(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{6}) , H=( 2\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{6}) , G=(\sqrt{3}, 0,0) }$

Οι έξι ακμές οι οποίες περιστρεφόμενες θα δημιουργήσουν την τρίτη επιφάνεια είναι οι ακόλουθες:

$\displaystyle{ (BD),(DC),(CE),(EZ),(ZH),(HB)}$

όπως αυτές φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:

: Κύβος 4.2.png (19.59 KiB) Προβλήθηκε 1157 φορές

Τα άκρα των έξι αυτών ίσων μεταξύ των ακμών του κύβου κινούνται πάνω σε δυο κύκλους

όπως αυτοί φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:

: Κύβος 4.3.png (25.61 KiB) Προβλήθηκε 1157 φορές

Οι κύκλοι αυτοί έχουν κέντρα: $\displaystyle{K=(\frac{\sqrt{3}}{3}, 0,0), L=(2\frac{\sqrt{3}}{3}, 0,0) }$

(Ας θυμηθούμε τους δύο κώνους από την προηγούμενη ανάρτηση)

Ύστερα από αυτά τα έξι αυτά τμήματα θα γράφουν την ίδια επιφάνεια καθώς θα περιστρέφονται γύρω

από τον άξονα $\displaystyle{x'Ox}$ .

Θα μελετήσουμε λοιπόν την επιφάνεια που σχηματίζει ένα από αυτά έστω το τμήμα $\displaystyle{BD}$

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 05, 2024 10:48 pm**

Θεωρούμε το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων Oxyz

με αρχή

των αξόνων μια κορυφή του κύβου, άξονα των

τον άξονα περιστροφής του κύβου

και στο επίπεδο Oxy

δύο από τις ενδιάμεσες απέναντι κορυφές,

και $\Theta$ . (βλέπε παρακάτω σχήμα).

: peristrofiCube1.png (58.75 KiB) Προβλήθηκε 1114 φορές

Η διαγώνιος

του κύβου είναι $\sqrt{3}$ , άρα $H(\sqrt{3},0,0)$ . Για το σημείο B(x_B,y_B,0)

έχω $\left\{ \begin{array}{c} OB^2=2 \\ HB^2=1 \end{array} \Rightarrow B\left(\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{6}},0\right)\right.\$ .
Η περιστροφή της ακμής

γύρω από τον άξονα

δημιουργεί έναν κώνο με κυκλική βάση ακτίνας r=y_B

και ύψους

. Συνεπώς ο όγκος του κώνου αυτού είναι $V_1=\frac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot h=\frac{1}{3}\pi\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}$ . Η περιστροφή της ακμής

γύρω από τον άξονα

δημιουργεί έναν δεύτερο κώνο ίσο με τον προηγούμενο (λόγω συμμετρίας), άρα $V_2=V_1=\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}$ .

Για το σημείο A(x_A,y_A,z_A)

έχω αρχικά ότι $z_A=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ως ύψος από την κορυφή Α του ορθογώνιου και ισοσκελούς τριγώνου OAB

. Ακόμα έχω $\left\{ \begin{array}{c} OA^2=1 \\ HA^2=2 \end{array} \Rightarrow A\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right.$ .
Η περιστροφή της ακμής

γύρω από τον άξονα

δημιουργεί το κομμάτι του υπερβολοειδούς στερεού (όπως και κάθε ενδιάμεσης ακμής του κύβου, που δεν έχει κορυφή τα

και

). Η περιστροφή της κορυφής

γύρω από τον άξονα

, όπως είδαμε πριν, δημιουργεί την κυκλική βάση κώνου ακτίνας $\frac{2}{\sqrt{6}}$ και θα τέμνει το επίπεδο Oxy

σε ένα σημείο $I\left(x_{I},\frac{2}{\sqrt{6}},0\right)$ . Προφανώς $x_{I}=x_{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ . Άρα $I\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{6}},0\right)$ .

Το μέσο της ακμής

είναι το $M\left(\frac{1,5}{\sqrt{3}},\frac{1,5}{\sqrt{6}},\frac{0,5}{\sqrt{2}}\right)$ . Η απόσταση ενός σημείου (a,b,c)

από τον άξονα

είναι $\sqrt{b^2+c^2}$ (όσο η απόσταση της προβολής του σημείου στο επίπεδο Oyz

από την αρχή

). Άρα $d\left(M,Ox\right)=\sqrt{\frac{2,25}{6}+\frac{0,25}{2}}=\sqrt{\frac{3}{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ . Η περιστροφή, λοιπόν, του σημείου

γύρω από τον άξονα

δημιουργεί ένα κύκλο ακτίνας $\frac{1}{\sqrt{2}}$ που τέμνει το επίπεδο Oxy

σε ένα σημείο $N\left(x_N,\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$ . Προφανώς $x_N=x_M=\frac{1,5}{\sqrt{3}}$ . Άρα $N\left(\frac{1,5}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$ . Τα τρία σημεία I,N,B

ανήκουν στην τομή του υπερβολοειδούς με το επίπεδο Oxy

που είναι η υπερβολή (c)

με άξονες συμμετρίας τον άξονα

και ευθεία x=m

, άρα η εξίσωσή της (c)

είναι της μορφής $\frac{y^2}{b^2}-\frac{{\left(x-m\right)}^2}{a^2}=1$ . Το σημείο

είναι η κορυφή της υπερβολής συνεπώς $m\ =\ x_N$ άρα η εξίσωση της υπερβολής $(c)\$ γίνεται $\frac{y^2}{b^2}-\frac{{\left(x-m\right)}^2}{a^2}=1$ . Αφού $I\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{6}},0\right)\in (c)\$ έχω $\frac{2}{3b^2}-\frac{1}{12a^2}=1$ και αφού $N\left(\frac{1,5}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)\in (c)\$ έχω $\frac{1}{2b^2}-0=1\Rightarrow \frac{1}{b^2}=2$ και άρα $\frac{4}{3}-\frac{1}{12a^2}=1\Rightarrow \frac{1}{a^2}=4$ . Άρα η εξίσωση της υπερβολής $(c)\$ γίνεται $2y^2-4{\left(x-\frac{1,5}{\sqrt{3}}\right)}^2=1$ .

: peristrofiCube2.png (39.07 KiB) Προβλήθηκε 1114 φορές

Η περιστροφή του καμπυλόγραμμου τμήματος INB

της υπερβολής αυτής διαγράφει το υπερβολοειδές και ο όγκος αυτού δίνεται από τον τύπο
$V_3=\int^{x_B}_{x_I} \pi y^2 dx=\pi\int^{\frac{2}{\sqrt{3}}}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left[2\left(x-\frac{1,5}{\sqrt{3}}\right)^2+\frac{1}{2}\right]dx=\dots =\frac{5\pi}{9\sqrt{3}}$ .

Τελικά ο όγκος του παραγόμενου στερεού είναι $V=V_1+V_2+V_3=\frac{\pi}{\sqrt{3}}\approx 1,813799$ κ.μ.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 09, 2024 12:05 am**

ttheodoros έγραψε: Δευ Σεπ 23, 2024 11:05 am Ο κύβος με κορυφές , , , , , , , περιστρέφεται γύρω από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και . Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που δημιουργείται.

Καλησπέρα από Γρεβενά....

(Συνέχεια...)

Θα βρούμε την εξίσωση της επιφάνειας που διαγράφει η ακμή $\displaystyle{BD}$ και κατά συνέπεια και οι υπόλοιπες

$\displaystyle{(DC),(CE),(EZ),(ZH), (HB) }$ όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη ανάρτηση μου.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Κύβος 5.1.png (45.63 KiB) Προβλήθηκε 1033 φορές

Η παραμετρική εξίσωση της ακμής $\displaystyle{(BD)}$ είναι:

$\displaystyle{ (BD): \left\{\begin{matrix} x=(1+u)\frac{\sqrt{3}}{3}\\y=-u\frac{\sqrt{2}}{2}\\z=\frac{\sqrt{6}}{3}-u\frac{\sqrt{6}}{6} \end{matrix},\ \ u=0..1 \ \ (1) }$

Αν στις συντεταγμένες της εξίσωσης (1) εφαρμόσουμε τον πίνακα στροφής γύρω από τον άξονα των $\displaystyle{x'x}$ τότε καταλήγουμε στην

εξίσωση της επιφάνειας που διαγράφει η ακμή αυτή. Η εξίσωση αυτή προκύπτει ότι είναι η κατωτέρω:

$\displaystyle{ (S): \left\{\begin{matrix} x=(1+u)\frac{\sqrt{3}}{3} \\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}ucost-\frac{\sqrt{6}}{6}(2-u)sint\\ z=-\frac{\sqrt{2}}{2}usint+\frac{\sqrt{6}}{6}(2-u)cost\end{matrix}, \ \ u=0..1, \ \ t=0..2\pi \ \ (2) }$

Γιατί όμως η επιφάνεια αυτή είναι μια υπερβολοειδής;

Από την εξίσωση (2) εύκολα προκύπτει:

$\displaystyle{y^2+z^2=R^2, \ \ R=\sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{u^2-u+1}, \ \ u=0..1 \ \ (3) }$

Η εξίσωση (3) δηλώνει ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{u}$ η επιφάνεια $\displaystyle{S}$ τέμνει το επίπεδο $\displaystyle{yOz}$ σε κύκλο ακτίνας $\displaystyle{R}$ .

Αν τώρα θεωρήσουμε ότι $\displaystyle{y=0}$ , τότε στο επίπεδο $\displaystyle{xOz}$ θα προκύψει η τομή της επιφάνειας $\displaystyle{S}$ με το επίπεδο αυτό.

Δηλαδή τότε θα έχουμε:

$\displaystyle{x=\frac{\sqrt{3}}{3}(1+u)\ \ (4) }$
$\displaystyle{z=R=R=\sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{u^2-u+1}, \ \ (5) }$

Από τις (4) και (5) απαλείφοντας την παράμετρο $\displaystyle{u}$ καταλήγουμε στην καρτεσιανή μορφή

της τομής της επιφάνειας $\displaystyle{S}$ με το επίπεδο $\displaystyle{xOy}$ . Αυτή είναι:

$\displaystyle{z=\sqrt{2}\sqrt{x^2-\sqrt{3}x+1} \ \ (6) }$

Ο περιορισμός αυτής στην περιοχή που μας ενδιαφέρει θα είναι:

$\displaystyle{z=\sqrt{2}\sqrt{x^2-\sqrt{3}x+1}, \ \ \frac{\sqrt{3}}{3} \leq x \leq \frac{2\sqrt{3}}{3} \ \ (7) }$

Η συνάρτηση αυτή εύκολα διαπιστώνεται ότι είναι μια υπερβολή.

Τα ευρήματα αυτά εμφανίζονται στο επόμενο σχήμα:

: Κύβος 5.2.png (40.58 KiB) Προβλήθηκε 1033 φορές

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 16, 2024 11:04 am**

ttheodoros έγραψε: Δευ Σεπ 23, 2024 11:05 am Ο κύβος με κορυφές , , , , , , , περιστρέφεται γύρω από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και . Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που δημιουργείται.

Καλημέρα από Γρεβενά...

Ολοκληρώνοντας με την αναζήτηση του όγκου του στερεού αυτού εργαζόμαστε στο

ακόλουθο σχήμα:

: Υπερβολοειδές 2.1.png (49.12 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

Σύμφωνα με τον τύπο (7) της προηγούμενης ανάρτησης, δηλαδή:

$\displaystyle{z=f(x)=\sqrt{2} \sqrt{x^2-\sqrt{3}x+1}, \ \ \frac{\sqrt{3}}{3} \leq x \leq \frac{2\sqrt{3}}{3} }$

υπολογίζουμε κατά τα γνωστά τον όγκο του στερεού αυτού εκ περιστροφής:

$\displaystyle{ V_{yperboloide}=\pi\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\frac{2\sqrt{3}}{3}} [f(x)]^2dx=\pi\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\frac{2\sqrt{3}}{3}} (2(x^2-\sqrt{3}x+1)dx=2\pi\int_{\frac{\sqrt{3}}{3}}^{\frac{2\sqrt{3}}{3}} (x^2-\sqrt{3}x+1)dx \ \ (1)}$

Μετά από πράξεις το ολοκλήρωμα της σχέσης (1) είναι:

$\displaystyle{V_{yperboloide}=\frac{5\pi\sqrt{3}}{27}\ \ (2) }$

Όμως από τη σχέση (4) της δεύτερης συνέχειας μου που αναρτήθηκε για το θέμα αυτό, το άθροισμα

των όγκων των δυο κώνων είναι:

$\displaystyle{V_{kone}=\frac{4\pi \sqrt{3}}{27} \ \ (3) }$

Έτσι ο συνολικός όγκος του στερεού που προκύπτει από την περιστροφή του κύβου αυτού είναι:

$\displaystyle{V=V_{kone}+V_{yperboloide}=\frac{\pi\sqrt{3}}{3} }$

Αναρτώ και τη διεύθυνση ενός όμορφου σχήματος για το υπερβολοειδές αυτό στην

ακόλουθη διεύθυνση:

https://www.geogebra.org/m/nsgguvms

Κώστας Δόρτσιος

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 16, 2024 9:31 pm**

Για τον υπολογισμό του όγκου του υπερβολοειδούς στερεού θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε και την αρχή Cavalieri.

Έστω $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ μια υπερβολή στο επίπεδο Oxy

, που περιστρέφεται γύρο από τον άξονα

. Θα βρούμε τον όγκο του στερεού σχήματος που σχηματίζεται από την παραπάνω περιστρεφόμενη υπερβολή, και τα κάθετα προς τον άξονα

επίπεδα, που διέρχονται από την αρχή τον αξόνων

και σημείο y=c ( c >0)

(υπερβολοειδές τμήμα).

Από σημείο

με $0< y \leq c$ , φέρουμε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής

της υπερβολής. Η τομή του υπερβολοειδούς τμήματος με αυτό επίπεδο είναι κύκλος, με τετράγωνο ακτίνας ίσο με

$a^2+\dfrac{a^2}{b^2}y^2$ και εμβαδόν $\pi \left (a^2+\dfrac{a^2}{b^2}y^2 \right)$ .

Επίσης θεωρούμε το στερεό (δυο στερεά), που αποτελείται από ένα κύλινδρο και ένα κώνο (ορθό). Ο κύλινδρος έχει την βάση στο επίπεδο Oxz

και ακτίνας

και ύψους

. Ο κώνος έχει την κορυφή του στο επίπεδο Oxz

, έχει ύψος

και ακτίνα βάσης $\dfrac{ac}{b}$ .

Η τομή του παραπάνω τμήματος με το επίπεδο, που διέρχεται από το σημείο

κάθετο στον άξονα

, είναι (σχήμα) δυο κύκλοι ακτίνας

και $\dfrac{ay}{b}$ . Το συνολικό άθροισμα του εμβαδού αυτού του σχήματος είναι

$\pi \left (a^2+\dfrac{a^2}{b^2}y^2 \right)$ , δηλαδή ίσο με το εμβαδό της τομής του υπερβολοειδούς τμήματος.

Από την αρχή του Cavaliery ο όγκος

του υπερβολοειδούς τμήματος θα είναι ίσος με το άθροισμα των όγκων του παραπάνω κυλίνδρου και κώνου.

Επομένως $V = \pi a^2c + \dfrac{\pi a^2c^3}{3b^2}$ .

Στην περίπτωσή μας $a^2=\dfrac{1}{2}, b^2=\dfrac{1}{4}$ και $c=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ , οπότε $V= \dfrac{\pi 5\sqrt{3}}{54}$ .

Ο κομμάτι της περιστροφής του κύβου περιέχει δυο τέτοια υπερβολοειδή τμήματα (και το συμμετρικό του ως προς το επέπιδο Oxz

) οπότε ο όγκος του υπερβολοειδούς στερεού που σχηματίζει ο κύβος έχει όγκο

$2V= \dfrac{\pi 5\sqrt{3}}{27}$ , που συμφωνεί και με τα αποτελέσματα των προηγούμενων δημοσιεύσεων.

: kubos_ek_peristrofhs.png (467.72 KiB) Προβλήθηκε 903 φορές

mathematica.gr

Όγκος στερεού

Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού